[論文レビュー] Series reversion in Calder\'on's problem

Henrik Garde, Nuutti Hyvönen|arXiv (Cornell University)|May 7, 2021

Numerical methods in inverse problems参考文献 60被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、電気インピーダンストモグラフィー（EIT）におけるCalderónの逆導電率問題を解くための新しいシリーズ反転法を提案する。この手法により、部分的な境界測定値を用いて、既知の導電率行列に対する加法的摂動の高次数の数値再構成が可能になる。前方写像の解析的性質を証明し、そのテイラー級数を任意の次数まで反転することで、フレシェ微分の可逆性条件の下で収束を達成する。計算複雑性は線形化問題を解くのと同一であり、連続モデル（CM）および滑らか化完全電極モデル（SCEM）の両方に適用可能である。

ABSTRACT

This work derives explicit series reversions for the solution of Calder\'on's problem. The governing elliptic partial differential equation is $ abla\cdot(A abla u)=0$ in a bounded Lipschitz domain and with a matrix-valued coefficient. The corresponding forward map sends $A$ to a projected version of a local Neumann-to-Dirichlet operator, allowing for the use of partial boundary data and finitely many measurements. It is first shown that the forward map is analytic, and subsequently reversions of its Taylor series up to specified orders lead to a family of numerical methods for solving the inverse problem with increasing accuracy. The convergence of these methods is shown under conditions that ensure the invertibility of the Fr\'echet derivative of the forward map. The introduced numerical methods are of the same computational complexity as solving the linearised inverse problem. The analogous results are also presented for the smoothened complete electrode model.

研究の動機と目的

• 既知の導電率係数に対する加法的摂動を、任意の高次数の数値的手法で再構成するための体系的枠組みを構築すること。
• 前方写像のフレシェ微分の可逆性を保証する条件下で、これらの手法の収束を確立すること。
• 連続モデル（CM）および滑らか化完全電極モデル（SCEM）の両方にこの手法を拡張し、実用的EIT測定への適用可能性を保証すること。
• 特に2次元空間において、シリーズ反転に必要な射影作用素Qを体系的に構築するためのフレームワークを提供すること。
• 本手法の計算コストが、離散化のレベルに関係なく、線形化逆問題を解くのと同一のスケーリングに比例することを示すこと。

提案手法

• 導電率から射影されたノイマンからディリクレへの作用素に写像する前方写像 A ↦ Λ(A) が、行列値L∞係数空間において解析的であることを証明する。
• 前方写像のテイラー展開の明示的シリーズ反転を用いて、摂動Bを次数Kまで再構成し、漸近的公式 B = Σ_{j=1}^K F_j + O(||B||^{K+1}) を得る。
• 射影フレシェ微分 PDΛ(A; ·)P が、摂動Bを含む既知の部分空間W上で単射であり、閉補空間に写像されることを要請することで、相対的前方写像の可逆性を保証する。
• 適切なバナッハ空間における作用素に対して、Wと整合性を持つ射影Qを導入し、シリーズ反転に必要な解析的逆写像の構築を可能にする。
• 2次元では、Qをヒルベルト＝シュミット作用素空間における閉部分空間への直交射影として体系的に選ぶ。これは、共形写像と単位円板ND写像の固有値的性質を活用する。
• Wが有限次元の場合、Qの明示的構成を回避し、1階微分の逆問題に標準的な正則化技術を適用することで、効率的な実装を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 前方写像が解析的であり、射影フレシェ微分が可逆であると仮定した場合、シリーズ反転を用いてCalderón問題の前方写像を任意の次数まで逆写像可能か？
• RQ2 係数空間および測定データにどのような条件を課すと、加法的摂動の再構成におけるシリーズ反転法の収束が保証されるか？
• RQ3 2次元空間において、安定なシリーズ反転を可能にするために、射影Qをどのように体系的に構築できるか？
• RQ4 本手法の計算コストは、線形化逆問題を解く場合と比べてどの程度スケーリングされるか？
• RQ5 シリーズ反転フレームワークを滑らか化完全電極モデルに拡張可能か？また、収束性および複雑性の性質は保持されるか？

主な発見

• 前方写像 A ↦ Λ(A) は、L∞行列値係数空間において解析的であり、テイラー級数展開およびその後続するシリーズ反転を可能にする。
• 射影フレシェ微分の可逆性の下で、摂動Bの再構成に対して O(||B||^{K+1}) の収束次数を持つ数値的再構成の族が得られる。
• 任意の固定された K ∈ ℕ に対して、本手法の計算複雑性は、離散化のレベルに依存しないKに依存する定数倍の線形化逆問題を解くコストに上限づけられる。
• 本手法は連続モデルおよび滑らか化完全電極モデルの両方に適用可能であり、両設定において類似した収束性および複雑性の結果が得られる。
• 2次元では、Qをヒルベルト＝シュミット作用素空間における直交射影として体系的に構築可能であり、整合性と安定性を保証する。
• 本手法におけるすべての病的な条件を有するステップは、1階微分 PDΛ(A; ·)P の逆写像に相当するため、線形逆問題のための確立された正則化技術を直接適用可能である。