[論文レビュー] Series with summands involving harmonic numbers

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Advanced Mathematical Identities被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、中央二項係数を含むラマヌジャン型級数に注目し、3次までの調和数を含む無限級数に関する66の予想を提示する。π、ζ(3)、カタラン定数Gを含む正確な評価が得られ、既知の級数恒等式およびモジュラー形式に触発されたp進合同式（p^4以上）が提案されている。

ABSTRACT

For each positive integer $m$, the $m$th order harmonic numbers are given by $$H_n^{(m)}=\sum_{0

研究の動機と目的

• 3次までの調和数を含む無限級数の正確な閉形式評価を発見すること。
• 1/πおよびπのラマヌジャン型級数を、調和数補正項を含む形に拡張すること。
• ヴァン・ハムメの予想に触発され、このような級数についてp^4以上を法とするp進合同式を定式化・支持すること。
• 中央二項係数と調和和に関する既知の恒等式を統一・一般化すること。
• L関数の特別値、ゼータ関数、および調和項を含む組合せ的級数との関係を調査すること。

提案手法

• 生成関数および超幾何恒等式を用い、特に∑(6k+1) binom(2k,k)^3 x^k に注目する。
• arcsin(x/2)およびその累乗の既知の級数展開を応用し、H_n^(2)およびH_n^(3)を含む恒等式を導出する。
• p進L関数およびq類似の理論を用いて、p^4以上を法とする予想的な合同式を定式化する。
• 記号計算とパターン認識に依拠し、既知の結果および数値的証拠に基づいて新しい恒等式を提案する。
• 一般化された超幾何関数および逆中央二項係数級数を用いて閉形式を導出する。
• Ramanujan型級数における補正をモデル化するため、H_{mk}およびH_kを含む重み付き調和和表現を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式 ∑(6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(3)} - c H_k^{(3)}) の級数について、どのような正確な閉形式が得られるか？
• RQ2 奇素数pに対して、中央二項係数を含む調和級数のp進合同式は、p^4を法としてどのように振る舞うか？
• RQ3 H_n^{(2)}およびH_n^{(3)}を含む恒等式は、ラマヌジャン型級数において高次調和数へ一般化可能か？
• RQ4 閉形式における対数項と、級数の分母に現れる代数的数との関係は何か？
• RQ5 提案されたp進合同式は、モジュラー形式やL関数の特別値との間のより深い関係を反映しているか？

主な発見

• 本稿は、∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(3)} - 7/64 H_k^{(3)}) = 25ζ(3)/(8π) - G であると予想している。ここでGはカタラン定数である。
• ∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / (-512)^k (H_{2k}^{(2)} - 5/16 H_k^{(2)}) = -√2 π / 48 であると提唱している。
• 級数 ∑_{k=0}^∞ (6k+1) binom(2k,k)^3 / 256^k (H_{2k}^{(2)} - 5/16 H_k^{(2)}) の正確な値は π/12 である。
• 本稿は、∑_{k=0}^∞ (1640k^2 + 278k + 15) binom(2k,k)^2 binom(3k,k) binom(4k,2k) binom(6k,3k) / (-2^{22}3^3)^k × [(1640k^2 + 278k + 15)H(k) + 3280k + 278] = 256 / (√3 π²) log(2^{22}3^3) であると予想している。
• p > 3 なる素数に対して、p進合同式 ∑_{k=0}^{p-1} [...] ≡ (3/p)(278p + 15p² q_p(2^{22}3^3) - 15/2 p³ q_p(2^{22}3^3)^2) mod p^4 が成り立つ。
• 本稿は、∑_{k=0}^∞ (1920k^2 + 304k + 15) binom(2k,k)^3 binom(4k,2k) binom(8k,4k) / (2^{18}7^4)^k × [(1920k^2 + 304k + 15)ℋ(k) + 1920k + 152] = 56√7 / π² (9 log 2 + 2 log 7) であると予想している。