[論文レビュー] Serre's conjecture over F_9

Jordan S. Ellenberg|ArXiv.org|Jul 20, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3および5の素数における特定の局所的条件を満たす mod 9 Galois表現に対して、Serreの予想を、ヒルベルトモジュラー多様体上の可解点に基づく幾何的メソッドを用いて証明する。主な結果として、$$\mathbb{F}_9$$ 上の奇数のGalois表現のモジュラー性が確立され、その系として、3および5で良い通常還元をもつヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面のモジュラー性が示される。

ABSTRACT

In this paper, we show that an odd Galois representation rhobar: Gal(Qbar/Q) --> GL_2(F_9) satisfying certain local conditions at 3 and 5 is modular. Our main tool is an idea of Taylor, which reduces the problem to that of exhibiting points on a Hilbert modular surface which are defined over a solvable extension of Q, and which satisfy certain reduction properties. As a corollary, we show that Hilbert-Blumenthal abelian surfaces over Q with good ordinary reduction at 3 and 5 are modular.

研究の動機と目的

• 3および5の素数における局所的条件を満たす mod 9 Galois表現に対するSerreの予想を証明すること。
• TaylorとSkinner-Wilesのモジュラー性上昇技法を$$\mathbb{F}_9$$ の場合に拡張すること。
• 3および5で良い通常還元をもつヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面のモジュラー性を確立すること。
• 特定のヒルベルトモジュラー多様体が、可解拡大体上にZariski稠密な点集合をもつこと、すなわち「性質S」を導入すること。

提案手法

• Galois表現のモジュラー性を、可解拡大体$$\mathbb{Q}$$ 上のねじれたヒルベルトモジュラー多様体上の有理点の存在に還元する。
• Taylorの循環的降下のアイデアを用い、可解拡大体から$$\mathbb{Q}$$ に戻すモジュラー形式の降下を実行する。
• SkinnerとWilesの定理を適用し、モジュラー表現を上昇させ、3-adic Galois表現のモジュラー性を確立する。
• Langlands–Tunnellの定理とDiamondによるモジュラー性上昇定理の精密化を用いて、3-adicおよび5-adic成分を処理する。
• 与えられた mod 9 Galois表現を実現する、可解拡大体$$F/\mathbb{Q}$$ 上のヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面を構成する。
• 表現がDₚ-区別的かつ通常であることを保証するため、3および5における単位群に条件を課すことで降下を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GL₂($$\mathbb{F}_9$$) が非可解である$$\mathbb{F}_9$$ の場合に、Serreの予想を拡張することは可能か？
• RQ2 小さな判別式をもつ体に対応するヒルベルトモジュラー多様体は、可解拡大体上でZariski稠密な点集合をもつ（性質Sをもつ）か？
• RQ3 Galois表現が3および5においてどのような局所的条件を満たせば、$$\mathbb{F}_9$$ 上でモジュラー性が達成可能か？
• RQ4 3および5で良い通常還元をもつヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面のモジュラー性は、Galois表現の手法によって確立可能か？
• RQ5 GL₂($$\mathbb{F}_p$$) の可解性や性質Sに依存する技法は、小さな有限体を超えてどの程度一般化可能か？

主な発見

• 本稿は、$$\rho\bar{}: \mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}) \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_9)$$ が奇数のGalois表現であるとき、$$D_3$$ への制限が、特定の単位群条件を満たす文字指標をもつ上三角行列であり、$$I_5$$ の像が$$\mathrm{SL}_2(\mathbb{F}_9)$$ に含まれていて、$$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{F}_9)$$ において奇数位階であるならば、その表現がモジュラーであることを証明する。
• 表現のモジュラー性は、それが可解拡大体$$F/\mathbb{Q}$$ 上のヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面の3-torsionとして実現され、かつその曲面自体がモジュラーであることで確立される。
• 主な幾何的洞察は、特定のねじれたヒルベルトモジュラー多様体が、可解拡大体上でZariski稠密な点集合をもつことである。本稿ではこの性質を「性質S」と呼ぶ。
• 系として、3および5で良い通常還元をもつ$$\mathbb{Q}$$ 上のすべてのヒルベルト＝ブルーメンタールのアーベル曲面$$A$$ は、ある$$N$$ に対して$$J_0(N)$$ の商であるから、モジュラーである。
• 証明は、3-adic Galois表現に循環的降下の議論を適用し、定理3.1およびモジュラー性上昇定理の事実を用いる。
• この結果は、非可解の場合におけるSerreの予想に対する証拠を提供するが、著者らは、高Genusの多様体では性質Sが稀であるため、このような技法がより大きな有限体に一般化されない可能性があると警告している。