[論文レビュー] Serre weights and Breuil's lattice conjecture in dimension three

Daniel Le, Bao V. Le Hung+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、分岐しない $p$-進体上の $\ell_3$-表現に対して、Breuilの格子予想を証明し、$U(3)$-算術多様体の完成コホモロジーにおける格子が、$p$ を上に持つ場所におけるガロア表現にのみ依存する純粋局所的性質を持つことを確立する。さらに、ホッジ＝テイト重量 $(2,1,0)$ を持つ潜在的クリスタリン変形に対して、幾何的 Breuil–Mézard 予想を証明し、この設定においてセールの重さ予想を検証する。これは、モジュラー表現論とパッチング関手を用いて、$\ell_3$ への先行結果の拡張を達成する。

ABSTRACT

We prove in generic situations that the lattice in a tame type induced by the completed cohomology of a $U(3)$-arithmetic manifold is purely local, i.e., only depends on the Galois representation at places above $p$. This is a generalization to $\mathrm{GL}_3$ of the lattice conjecture of Breuil. In the process, we also prove the geometric Breuil-Mézard conjecture for (tamely) potentially crystalline deformation rings with Hodge-Tate weights $(0,1,2)$ as well as the Serre weight conjectures over an unramified field extending our previous results. We also prove results in modular representation theory about lattices in Deligne-Luzstig representations for the group $\mathrm{GL}_3(\mathbb{F}_q)$.

研究の動機と目的

• 分岐しない $p$-進体上の $\ell_2$ から $\ell_3$-表現への Breuil の格子予想の一般化。
• ホッジ＝テイト重量 $(2,1,0)$ を持つ潜在的クリスタリン変形環に対して、$\ell_3$ における幾何的 Breuil–Mézard 予想の確立。
• 分岐しない体上での Herzig [Her09] のセールの重さ予想の検証。[LLHLM18] の結果を $\ell_3$ に拡張する。
• $\ell_3(\mathbb{F}_q)$ のデリーニュ–ルスツァイク表現における格子の構造に関する結果の証明。これには、単射包とワイル加群を用いる。
• $U(3)$-算術多様体の完成コホモロジーが、$\ell_3$ に対して純粋局所的 $p$-進 Langlands 対応を実現することの証明。

提案手法

• パッチング関手法を用いて、$U(3)$-算術多様体の完成コホモロジーから $p$-進ガロア表現を構成する。
• 降下データを伴うエタール $\ell$-加群および半単純キシン加群の理論を用いて、変形環を分析する。
• 拡張グラフおよびタイプとセールの重さの組合せ論を用いて、可能な格子構造を分類する。
• フロベニウス核とワイル加群を用いて、$\ell_3$ の既約表現の単射包を構成する。
• 重み格子における欠損と距離の概念を用いた帰納法により、デリーニュ–ルスツァイク表現における格子の構造定理を証明する。
• テイラー–ワイルズ法と可解基底の変換を用いて、ガロア表現の自動性およびコホモロジーの非消滅性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完成コホモロジーによって誘導される $U(3)$-算術多様体のターム型における格子は、$p$ を上に持つ場所における局所的ガロア表現にのみ依存するか？
• RQ2 ホッジ＝テイト重量 $(2,1,0)$ を持つ潜在的クリスタリン変形環に対して、$\ell_3$ における幾何的 Breuil–Mézard 予想は正しいか？
• RQ3 [Her09] のセールの重さ予想は、$\ell_3$ の設定において分岐しない拡大体上でも成り立つか？
• RQ4 特に単射包とワイル加群の観点から、$\ell_3(\mathbb{F}_q)$ のデリーニュ–ルスツァイク表現における格子の構造は何か？
• RQ5 $U(3)$-算術多様体の完成コホモロジーは、$\ell_3$ に対して純粋局所的 $p$-進 Langlands 対応を実現できるか？

主な発見

• 一般性と最小性の仮定の下で、$U(3)$-算術多様体の完成コホモロジーによって切り出されるターム型における格子は、$p$ を上に持つ場所におけるガロア表現にのみ依存する、純粋局所的性質を持つ。
• ホッジ＝テイト重量 $(2,1,0)$ を持つ $\ell_3$ に対して、幾何的 Breuil–Mézard 予想が証明され、変形環の成分が Breuil–Mézard の哲学に従ってセールの重さと一致することを示した。
• [Her09] のセールの重さ予想は、$\ell_3$ の設定において分岐しない体上で検証され、[LLHLM18] の結果をより高いランクに拡張した。
• 距離に基づく帰納法を用いた分類定理により、$\ell_3(\mathbb{F}_q)$ のデリーニュ–ルスツァイク表現における格子の構造は、単射包とワイル加群を用いて完全に記述された。
• 普遍変形環 $R_{\tau}^{\mathrm{univ}}$ が $\mathcal{O}_E$ 上で有限であることが示され、各 $\widetilde{v} \in \Sigma_0^+$ において、型 $((0,1,2),\tau_v)$ を持つ、共役自己双対的で最小的分岐をもつ潜在的クリスタリンな持ち上げ $\overline{r}$ の存在を示した。
• 局所的・グローバルな相性を用いて、$S(U,\sigma \otimes W)_{\mathfrak{m}}$ の非消滅性が確立され、モジュロ $p$ コホモロジーにおける自動性と重複度1の確認がなされた。