[論文レビュー] Seshadri constants and very ample divisors on algebraic surfaces

Brian Harbourne|ArXiv.org|Mar 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的表面の一般点 n 個における吹き上げにおいて、ネフ線分束を構成する幾何的技法を導入し、すべての特徴と表面において n 点 Seshadri 定数の下界を改善する。主な貢献は、Nagata の予想の一般化であり、有理曲線とディオファントス近似を用いたネフ線分束の構成により、特に大きな n に対して、先行研究より tighter な下界をもたらす。

ABSTRACT

A broadly applicable geometric approach for constructing nef divisors on blow ups of algebraic surfaces at n general points is given; it works for all surfaces in all characteristics for any n. This construction is used to obtain substantial improvements for currently known lower bounds for n point Seshadri constants. Remarks are included about a range of applications to classical problems involving linear systems on P2.

研究の動機と目的

• すべての特徴において、任意の代数的表面 X を一般点 n 個で吹き上げた場合に、ネフ Q-線分束を構成する広く適用可能な幾何的技法を開発すること。
• 特に自己交叉数 l < n の場合に、既知の n 点 Seshadri 定数の下界を改善すること。
• P² からの Seshadri 定数および非常に正則性に関する結果を、任意の代数的表面へと拡張すること。
• 表面の吹き上げにおける線形系統の基点自由性および非常に正則性に関するより鋭い下界を提供すること。
• Biran, Szemberg および他の研究者らの結果を一般化・改善し、特に大きな n や平方数でない n に対してより良い結果を得ること。

提案手法

• 有理曲線と特異除法を用いた幾何的議論により、表面 X の一般点 n 個における吹き上げ Y に対してネフ Q-線分束を構成する。
• n 個の一般点を吹き上げる写像 π: Y → X を用い、E_i を特異除法とする。このとき、全変換 π*L - ε∑E_i を定義する。
• 整数 r, d に対して r² - d²n = 1 を解くことで、ディオファントス近似技法を適用し、有効なネフ線分束を構成する。
• π*L - ε∑E_i がネフであるならば、ε ≤ ε(L, p₁,…,pₙ) が成り立つため、Seshadri 定数の下界が得られる。
• 双対性および消失定理（例：Ramanujam の消失定理）を用いて、線形系統の正則性、基点自由性、非常に正則性に関する下界を導出する。
• 適切な条件下で、F_t が正則 ⇒ F_{t-1} が基点自由 ⇒ F_{t-1} が非常に正則であるという基準を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特に L² < n の場合に、任意の代数的表面における n 点 Seshadri 定数 ε(L, p₁,…,pₙ) の改善された下界は何か？
• RQ2 すべての特徴において、一般点 n 個における表面の吹き上げにおけるネフ線分束の一般的幾何的構成法はどのように開発できるか？
• RQ3 線形系統 |tL′ - m∑E_i| の正則性、基点自由性、非常に正則性に関する下界は、既存の結果を上回って改善できるか？
• RQ4 Biran, Szemberg および他の研究者らの結果と比較して、特に平方数でない n あるいは大きな n の場合に、新しい下界はどのように異なるか？
• RQ5 特に特徴 0 および特定の n（例：n±1 が平方数のとき）において、新しい手法によって得られた下界の鋭さはいかがなものか？

主な発見

• 本稿では、任意の代数的表面の一般点 n 個における吹き上げに対して、有理曲線とディオファントス近似を用いたネフ線分束を構成する一般的手法を確立し、すべての特徴で有効であることを示した。
• n が十分に大きく、かつ L² < n の場合、本手法により、√(L²/n)√(1 - 1/n) よりも良い下界が得られ、特に n が平方数でない場合に顕著である。
• 本手法は、Biran が特定の n（a²i² ± 2i, a²i² + i, a²i² - i の形）に対して得た結果を回復し、a=1 または i>2 の場合により鋭い結果をもたらす。
• n > 9 の場合、ε(L, n) ≥ 1/√n √(1 - 1/r²) の下界が本手法により改善され、r は n に応じて r = a²i ± 1 または r = 2a²i ± 1 となる。この下界は、大きな n に対して Szemberg の結果を上回る。
• 補題 V.2.2 は、正則性に関する改善された下界を提供する：n が平方数でない場合、t ≥ (m+1)/ε_n - 3 ならば、F_t = tL′ - m∑E_i は正則である。これは [Xu2] および [Bal] の結果を改善する。
• 本手法は、特に n が平方数または m が大きい場合に、従来の結果よりも鋭い非常に正則性および基点自由性の下界をもたらし、[HR] や [Ev] の結果と一致またはそれを上回る重要なケースにおいて優位である。