[論文レビュー] Seshadri constants via Lelong numbers

Thomas Eckl|ArXiv.org|Aug 29, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、線束の倍数の切断から誘導される特異ヘルミート計量のLelong数を用いて、正の線束上のSeshadri定数の新しい公式を確立する。Lelong数を点における切断の最小重複度に関連させることで、Seshadri定数の幾何的特徴づけを導出し、曲線の積の blown-up における定数の計算に応用し、最大有理的接続商のための予想された特徴づけを反証するとともに、線型系とクレモナ変換を用いたNagata予想への新規なアプローチを提示する。

ABSTRACT

One of Demailly's characterizations of Seshadri constants on ample line bundles works with Lelong numbers of certain positive singular hermitian metrics. In this note sections of multiples of the line bundle are used to produce such metrics and then to deduce another formula for Seshadri constants. It is applied to compute Seshadri constants on blown up products of curves, to disprove a conjectured characterization of maximal rationally connected quotients and to introduce a new approach to Nagata's conjecture.

研究の動機と目的

• 正の線束上でのSeshadri定数の新しい幾何的公式を、その倍数の切断から誘導される特異ヘルミート計量のLelong数を用いて提供すること。
• 新公式を用いて、曲線の積のr点での blown-up におけるSeshadri定数を計算すること。
• Seshadri定数のLelong数に基づく新アプローチが、最大有理的接続商のための予想された特徴づけを反証すること。
• 線型系とクレモナ変換を用いた新規な手法を用いてNagataの予想に取り組むこと。
• Ciliberto-Mirandaの再帰法が、射影平面にr点を blown-up した場合のSeshadri定数の下界を改善できる限界を調査すること。

提案手法

• |kL|の非ゼロ正則切断を用いて正の線束Lに特異ヘルミート計量を構成し、曲率測度 iΘh とそれに付随するLelong数 ν(Θh, x) を得る。
• 補題1.1を用い、計量重みのLelong数 ν(ϕ, x) を点xにおける切断の最小消失位数に結びつける：ν(ϕ, x) = min_j{ord_x σ_j}。
• Seshadri定数の等価性 ε(L, x) = sup_k { min_i{mult_x D_i} / k } を、x が D_1 ∩ … ∩ D_n に孤立するような |kL| 内の除集合 D_i に対して確立する。
• 新公式を用いて、X = C_1 × … × C_r のr点での blown-up におけるSeshadri定数を、所定の重複度を持つ曲線の線型系を用いて計算する。
• 変形およびクレモナ変換技術を用い、ℙ² 上の線型系 L_d(n^m) を分析し、再帰的基準を用いて空でなく、特殊でないことを証明する。
• ℙ² 内のr個の相異なる点のr重組のパラメータ空間の既約性を活用し、基点が孤立し、重複度が制御された除集合を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Seshadri定数は、線束の倍数の切断から誘導される特異ヘルミート計量のLelong数を用いて特徴づけられるか？
• RQ2 r点での曲線の積の blown-up におけるSeshadri定数は何か？ また、新公式を用いて計算可能か？
• RQ3 Lelong数に基づく新アプローチは、最大有理的接続商のための予想された特徴づけを反証するか？
• RQ4 Ciliberto-Mirandaの再帰法を用いて、ℙ² に r = s² + k 個の点を blown-up した場合のSeshadri定数の下界を改善できるか？
• RQ5 Lelong数と線型系に基づく新手法は、ℙ² にr点を blown-up した場合のハイパーライン束のSeshadri定数に関するNagataの予想にどのように寄与するか？

主な発見

• Seshadri定数 ε(L, x) は、x が D_1, ..., D_n ∈ |kL| の交わりに孤立するような除集合 D_i に対して、sup_k { min_i{mult_x D_i} / k } に等しい。
• r個の曲線をr点で blown-up した場合、Seshadri定数は ε(H; x_1, ..., x_r) ≤ 1/√r を満たし、重複度 m_i を持つ曲線の線型系が存在する場合に等号に近づく。
• 任意のrに対して、D ∈ |dH| で mult_{x_i} D = m_i かつ 他の同様の除集合 D' に対して x_i が D ∩ D' に孤立するような除集合Dを構成し、m_i/d_i ≤ ε(H; x_1, ..., x_r) を示した。
• Ciliberto-Mirandaの再帰法を用いて、r = s² + 1, ..., s² + 4 の場合に √r / a ≥ s + 1/2 を満たす三つ組 (r, d_i, m_i) の列を構成したが、r = s² + k で 5 ≤ k ≤ 2s+1 の場合、1/(s+1) を超える改善は得られなかった。
• クレモナ変換と変形技術を用いた線型系の分析を通じて、Nagataの予想に取り組むための新規なフレームワークを提供した。
• ℙ² 内のr個の相異なる点のr重組のパラメータ空間の既約性により、各点における所定の接錐と重複度を持つ曲線の存在が保証され、交わりにおける基点が孤立する構成が可能になった。