[論文レビュー] Set Cover in Sub-linear Time

Piotr Indyk, Sepideh Mahabadi+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、集合被覆問題に対する線形時間未満のアルゴリズムを研究し、近似的に最適な保証を達成する新しいクエリベースのアプローチを提案する。$\widetilde{O}(m(n/k)^{1/(\alpha-1)} + nk)$ クエリで $\alpha$-近似被覆が達成可能であることを示し、最適被覆サイズを推定する場合のほぼ一致する下界 $\widetilde{\Omega}(m(n/k)^{1/(2\alpha)})$ を示している。これは、線形時間未満の設定でも成立する。

ABSTRACT

We study the classic set cover problem from the perspective of sub-linear algorithms. Given access to a collection of $m$ sets over $n$ elements in the query model, we show that sub-linear algorithms derived from existing techniques have almost tight query complexities. On one hand, first we show an adaptation of the streaming algorithm presented in Har-Peled et al. [2016] to the sub-linear query model, that returns an $α$-approximate cover using $ ilde{O}(m(n/k)^{1/(α-1)} + nk)$ queries to the input, where $k$ denotes the value of a minimum set cover. We then complement this upper bound by proving that for lower values of $k$, the required number of queries is $ ildeΩ(m(n/k)^{1/(2α)})$, even for estimating the optimal cover size. Moreover, we prove that even checking whether a given collection of sets covers all the elements would require $Ω(nk)$ queries. These two lower bounds provide strong evidence that the upper bound is almost tight for certain values of the parameter $k$. On the other hand, we show that this bound is not optimal for larger values of the parameter $k$, as there exists a $(1+\varepsilon)$-approximation algorithm with $ ilde{O}(mn/k\varepsilon^2)$ queries. We show that this bound is essentially tight for sufficiently small constant $\varepsilon$, by establishing a lower bound of $ ildeΩ(mn/k)$ query complexity.

研究の動機と目的

• 入力へのクエリアクセスを用いて、集合被覆問題を線形時間未満で解くことの可能性と複雑性を調査すること。
• 最小集合被覆を近似的に求めるために必要なクエリ数の、ほぼタイトな上界と下界を確立すること。
• 被覆の近似的な計算と被覆の検証の両方のクエリ複雑性を、最適被覆サイズ $k$ の小さい値および大きな値の両方について分析すること。
• 最小被覆サイズを $\alpha k$ から $k$ に著しく減少させる少数の慎重に選ばれた交換が可能なセットシステムの確率的構築技術を開発し、線形時間未満のアルゴリズムに対する強い下界を可能にすること。

提案手法

• [17] に記載されたストリーミングアルゴリズムを線形時間未満のクエリモデルに適応し、エレメントオブジェクト（EltOf）およびセットオブジェクト（SetOf）のオラクルを用いたアクセスモデルを採用して、セット・要素の所属関係を取得する。
• 最小被覆サイズが $\alpha k$ から $k$ に著しく減少するセットシステムの確率的構築を設計し、このような変更が多数のクエリなしでは検出できないようにする。
• ヤオの原理を用いて下界を証明し、少数のクエリで区別が困難な2つのインスタンス分布（Yes と No）を構築する。
• アン・モデルに基づくレイヤード解析を用いて、各スラブ（セットシステムへの潜在的変更を表す）で交換が検出される確率をバウンドする。
• $\varepsilon$ が十分に小さい定数の場合、$(1+\varepsilon)$-近似のための下界 $\widetilde{\Omega}(mn/k)$ を確立し、このバウンドがほぼタイトであることを示す。
• 与えられた集合コレクションがすべての要素を被覆しているかどうかを検証するには $\Omega(nk)$ クエリが必要であることを証明し、線形時間未満の設定において、たとえ基本的な被覆チェックですら困難であることを強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形時間未満で $\alpha$-近似集合被覆を計算するために必要な最小クエリ数は何か？
• RQ2 最適被覆サイズ $k$ が大きい場合に、より良いクエリ複雑性を達成できるか？
• RQ3 被覆を構築しないまま、最小集合被覆のサイズを推定するためのクエリ複雑性は何か？
• RQ4 与えられた集合コレクションがユニバースを被覆しているかどうかを、線形時間未満のクエリで検証することは可能か？
• RQ5 線形時間未満の組合せ最適化アルゴリズムに対する強い下界を証明するために、どのような確率的構築が有効か？

主な発見

• $\alpha$-近似集合被覆は、$\widetilde{O}(m(n/k)^{1/(\alpha-1)} + nk)$ クエリで計算可能であり、これは線形時間未満モデルにおけるこの問題の最良既知の上界と一致する。
• 最適被覆サイズを推定する場合でさえ、$\widetilde{\Omega}(m(n/k)^{1/(2\alpha)})$ クエリのほぼ一致する下界が証明されている。
• 被覆検証問題（与えられた集合コレクションがすべての要素を被覆しているかを確認する問題）には $\Omega(nk)$ クエリが必要であり、線形時間未満の設定において、たとえ基本的な被覆チェックですら困難であることが示された。
• $(1+\varepsilon)$-近似で $\varepsilon$ が十分に小さい定数の場合、アルゴリズムは $\widetilde{O}(mn/k\varepsilon^2)$ クエリを必要とし、$\widetilde{\Omega}(mn/k)$ の下界により、このバウンドがほぼタイトであることが示された。
• 最小被覆サイズが $\alpha k$ から $k$ に著しく減少する少数の交換が可能な確率的構築により、多くのクエリがなければ変更が検出できないため、強い下界を達成できる。
• 構造化されたセットシステムにおいて「ほぼ一様に分布する」変更を用いる技術は、他の組合せ最適化問題における下界の一般化フレームワークを提供する可能性がある。