[論文レビュー] Set Covering Problems with General Objective Functions

Jean Cardinal, Christophe Dumeunier|ArXiv.org|Feb 15, 2008

Optimization and Search Problems参考文献 26被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、地面集合の分割における部分集合のサイズの一般化平均を最大化する一般化された集合被覆問題を導入する。この問題はパrameter $ p $ でパラメータ化されており、グリーディアルゴリズムがすべての $ p > 0 $ に対して近似比 $ (p+1)^{1/p} $ を達成することを証明している。これはP = NPでない限り最適であり、最小集合被覆、最小エントロピー集合被覆、最大エッジクリーク分割といった既存の結果を統合・拡張する。

ABSTRACT

We introduce a parameterized version of set cover that generalizes several previously studied problems. Given a ground set V and a collection of subsets S_i of V, a feasible solution is a partition of V such that each subset of the partition is included in one of the S_i. The problem involves maximizing the mean subset size of the partition, where the mean is the generalized mean of parameter p, taken over the elements. For p=-1, the problem is equivalent to the classical minimum set cover problem. For p=0, it is equivalent to the minimum entropy set cover problem, introduced by Halperin and Karp. For p=1, the problem includes the maximum-edge clique partition problem as a special case. We prove that the greedy algorithm simultaneously approximates the problem within a factor of (p+1)^1/p for any p in R^+, and that this is the best possible unless P=NP. These results both generalize and simplify previous results for special cases. We also consider the corresponding graph coloring problem, and prove several tractability and inapproximability results. Finally, we consider a further generalization of the set cover problem in which we aim at minimizing the sum of some concave function of the part sizes. As an application, we derive an approximation ratio for a Rent-or-Buy set cover problem.

研究の動機と目的

• 最小集合被覆、最小エントロピー集合被覆、最大エッジクリーク分割といった古典的集合被覆問題を、1つのパラメータ化された枠組みで統合・一般化すること。
• パラメータ $ p $ でパラメータ化された一般化平均の目的関数を有するこの一般化された集合被覆問題におけるグリーディアルゴリズムの性能を分析すること。
• すべての正の $ p $ の値に対して、グリーディアルゴリズムのタイトな近似保証を確立し、標準的な複雑性仮定の下で最適性を証明すること。
• 一般化された凹関数コスト関数への枠組みの拡張を行い、Rent-or-Buy集合被覆のような新しい問題に応用すること。
• この一般化されたコストモデル下でのグラフ彩色の変種に対する近似比を導出すること、特に完全グラフおよびクラウフフリーなグラフに対して。

提案手法

• 目的関数として一般化平均 $ M_p = \left( \frac{1}{n} \sum_{v \in V} a_v^p \right)^{1/p} $ を最大化する、新たな集合被覆問題の族を形式化する。ここで $ a_v $ は要素 $ v $ を含む部分集合のサイズを表す。
• グリーディアルゴリズムを適用：各ステップで、未被覆の要素を一般化平均目的関数における限界利得を最大にする部分集合に割り当てる。
• コスト関数 $ f(c_i) = -c_i^{p+1} $ を用いた、各要素あたりのコスト $ \frac{f(a_v)}{a_v} $ に基づく双対適合の議論を用いて、近似比を評価する。
• 調和平均に基づく解析と凸性の議論を用いて、すべての $ p > 0 $ に対してグリーディアルゴリズムが近似比 $ (p+1)^{1/p} $ を達成することを確立する。
• 一般化された凹関数コスト関数 $ f(c_i) $ への枠組みの拡張を行い、$ \max_c \left\{ \frac{1}{f(c)} \sum_{j=1}^c \frac{f(j)}{j} \right\} $ で有界な近似比が得られることを証明する。
• コスト関数 $ f(c) = \min\{ c/(\beta n), 1 \} $ を有するRent-or-Buy集合被覆問題に一般結果を適用し、$ 1 - \ln \beta $ の近似比を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化平均目的関数でパラメータ化された広範な集合被覆問題のクラスに、グリーディアルゴリズムを普遍的に適用可能であり、その近似保証は何か？
• RQ2 近似比 $ (p+1)^{1/p} $ はすべての $ p > 0 $ に対して一般化平均集合被覆問題においてタイトであり、特殊ケースの既知の結果を包含しているか？
• RQ3 一般化された凹関数コスト関数を部分集合サイズに適用した場合、グリーディアルゴリズムはより広いクラスの集合被覆問題に対してどのように性能を発揮するか？
• RQ4 一般化された枠組みはRent-or-Buy集合被覆のような実用的問題に応用可能であり、保証可能な近似比は何か？
• RQ5 この一般化された目的関数下での対応するグラフ彩色の変種の計算可能性と近似不能性の境界は何か？

主な発見

• グリーディアルゴリズムはすべての $ p > 0 $ に対して、最大 $ p $-平均集合被覆問題において近似比 $ (p+1)^{1/p} $ を達成し、P = NP でない限りこれがタイトである。
• パラメータ $ p = -1 $ の場合、問題は古典的な最小集合被覆に還元され、グリーディアルゴリズムは既知の $ H_{\max |S_i|} $ の近似比を達成する。
• パラメータ $ p = 0 $ の場合、問題は最小エントロピー集合被覆問題に対応し、グリーディアルゴリズムは以前に知られていたのと同じ近似比を達成する。
• パラメータ $ p = 1 $ の場合、問題は最大エッジクリーク分割問題の特殊ケースを含み、グリーディアルゴリズムは定数因子近似を提供する。
• 部分集合サイズの凹関数 $ f(c_i) $ の和を最小化する一般枠組みは、$ \max_c \left\{ \frac{1}{f(c)} \sum_{j=1}^c \frac{f(j)}{j} \right\} $ の近似比を持つ多項式時間近似アルゴリズムをもたらす。
• コスト関数 $ f(c) = \min\{ c/(\beta n), 1 \} $ を有するRent-or-Buy集合被覆問題に対して、グリーディアルゴリズムは $ 1 - \ln \beta $ の近似比を達成し、$ w(V) \leq e $ の場合に先行する2近似結果を改善する。