[論文レビュー] Set Families with Low Pairwise Intersection

Calvin Beideman, Jeremiah Blocki|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2014

Cryptography and Data Security参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、数論およびラマヌジャン素数の技術を用いて、弱い $(n, \theta, \nu)$-共有集合族の明示的構成を提示する。$n = 4\theta^2\ln 4\theta$ のとき、族のサイズは $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$ に達し、Raz らの非明示的構成と同等の性能を達成する。この構成により、低メモリで並列化可能な擬似乱数生成器が可能となり、さまざまなパrameter設定下でのこのような族の最大サイズに対するタイトな境界が確立される。

ABSTRACT

A $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $m$ is a family of sets $S_1,\ldots,S_m\subseteq [n]$ s.t. each set has size $\ell$ and each pair of sets shares at most $γ$ elements. We let $m\left(n,\ell,γ ight)$ denote the maximum size of any such set family and we consider the following question: How large can $m\left(n,\ell,γ ight)$ be? $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set families have a rich set of applications including the construction of pseudorandom number generators and usable and secure password management schemes. We analyze the explicit construction of Blocki et al using recent bounds on the value of the $t$'th Ramanujan prime. We show that this explicit construction produces a $\left(4\ell^2\ln 4\ell,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $\left(2 \ell \ln 2\ell ight)^{γ+1}$ for any $\ell\geq γ$. We also show that the construction of Blocki et al can be used to obtain a weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set family of size $m$ for any $m >0$. These results are competitive with the inexplicit construction of Raz et al for weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing families. We show that our explicit construction of weak $\left(n,\ell,γ ight)$-sharing set families can be used to obtain a parallelizable pseudorandom number generator with a low memory footprint by using the pseudorandom number generator of Nisan and Wigderson. We also prove that $m\left(n,n/c_1,c_2n ight)$ must be a constant whenever $c_2 \leq \frac{2}{c_1^3+c_1^2}$. We show that this bound is nearly tight as $m\left(n,n/c_1,c_2n ight)$ grows exponentially fast whenever $c_2 > c_1^{-2}$.

研究の動機と目的

• 擬似乱数生成およびパスワード管理に使用可能な、明示的かつ効率的な弱い $(n, \theta, \nu)$-共有集合族の構築を目的とする。
• 最近のラマヌジャン素数に関する境界を用いて、Blocki らの構成を分析し、パrameterの妥当なトレードオフを確立する。
• $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ のとき $m(n, n/c_1, c_2 n)$ が定数であることを証明し、$c_2 > 1/c_1^2$ のとき指数関数的に増加することを示し、族サイズの閾値特性を明らかにする。
• 弱い集合族に対して、明示的構成がRaz らの非明示的構成と同等の性能を達成することを示す。
• さまざまなパrameter設定下での、互いに交差する要素数が制限された集合族の最大サイズに対するタイトな漸近的境界を提供する。

提案手法

• 最近の $t$ 番目のラマヌジャン素数に関する境界を活用し、Blocki らの $(n, \theta, \nu)$-共有集合族に対する明示的構成を分析する。
• $n = 4\theta^2 \ln 4\theta$ のとき、算術級数の剰余類上での確率的選択プロセスを用いて、弱い $(n, \theta, \nu)$-共有集合族をサイズ $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$ で構築する。
• チェルノフ境界およびユニオン境界を用いて、算術級数からランダムにセットを選択すると、非ゼロの確率でペアワイズ交差が $\nu$ 以下になることを示す。
• Nisan-Wigderson フレームワークを適用し、構築された集合族から、小さな回路による明示的インデックス計算により低メモリ使用量を実現できる並列化可能な擬似乱数生成器を構築する。
• 極値的組合せ論および確率的技法を用いて、特に $\theta = n/c_1$ および $\nu = c_2 n$ のときの $m(n, \theta, \nu)$ の上界および下界を証明する。
• GCDが有界となる整数の選択に、素数積に基づく構成的手法を用い、集合族サイズに関する極値境界の導出を支援する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Raz らの非明示的構成と同等の性能を達成する、弱い $(n, \theta, \nu)$-共有集合族の明示的構成は設計可能か？
• RQ2 密度の高いパrameter設定下で、各セットのサイズが $\theta$ であり、任意の二つのセットの交差が $\nu$ 要素以下であるような集合族の最大サイズ $m(n, \theta, \nu)$ は何か？
• RQ3 $m(n, n/c_1, c_2 n)$ は $c_1$ と $c_2$ の関数としてどのように振る舞うか、特に定数増加と指数増加の間の閾値領域において。
• RQ4 最近のラマヌジャン素数の境界を用いて、Blocki らの構成を厳密に分析し、族サイズに関する明示的かつタイトな境界を導出可能か？
• RQ5 $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ のとき、上界 $m(n, n/c_1, c_2 n) = \text{const}$ はタイトか？また、$c_2$ の増加に伴い、族サイズが指数関数的に増加する遷移はどのように進行するか？

主な発見

• 弱い $(n, \theta, \nu)$-共有集合族を、$n = 4\theta^2 \ln 4\theta$ のとき、サイズ $(2\theta \ln 2\theta)^{\nu+1}$ で明示的に構成し、Raz らの非明示的構成と同等の性能を達成した。
• 構成により、小さな回路による明示的インデックス計算により、実行時にセットインデックスを計算することで、低メモリ使用量の並列化可能な擬似乱数生成器が実現可能となった。
• 任意の $c_2 \leq 2/(c_1^3 + c_1^2)$ のとき、$m(n, n/c_1, c_2 n)$ が定数であることを証明し、定数サイズ族の明確な閾値を確立した。
• $c_2 > 1/c_1^2$ のとき、族サイズ $m(n, n/c_1, c_2 n)$ は指数関数的に増加することを示し、上界がほぼタイトであることを示した。
• 本稿では、$\theta \geq \nu+1$ のとき $m(n, \theta, \nu) \geq m(n, \theta+1, \nu)$ が成り立つことを証明し、$\nu \leq n/2$ のとき最大サイズは $\theta = \nu+1$ で達成され、$\nu \geq n/2$ のとき $\theta = \nu$ で達成され、それぞれ ${n \choose \nu+1}$ および ${n \choose \nu}$ の値を取ることを示した。
• $c_1$ を法とする剰余類上での確率的構成により、$\nu > n/c_1^2$ のとき指数的サイズの $(n, \theta, \nu)$-共有集合族が得られ、非ゼロの確率でそのような族の存在を証明した。