[論文レビュー] Set-theoretic problems concerning Lindelof spaces

Franklin D. Tall|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、積的にLindelöf、Alster、Menger、D-空間の間の関係に注目し、長年の集合論的問題であるLindelöf空間に関するものを調査する。強制法、大基数、および射影的手法を用いて、CHまたは大基数の仮定のもとで、積的にLindelöf空間はMengerであり、したがってD-空間であることが示され、またLindelöf部分空間と強制拡張における位相的性質の整合性結果についても検討される。

ABSTRACT

I survey problems concerning Lindelof spaces which have partial set- theoretic solutions.

研究の動機と目的

• 強制法と大基数を用いた部分的解決が得られている、Lindelöf空間に関する未解決の集合論的問題を調査すること。
• CHまたは大基数の仮定のもとで、積的にLindelöf空間が必然的にAlster空間またはD-空間であるかどうかを検討すること。
• 強制拡張の下で、より大きなLindelöf空間内のサイズℵ₁のLindelöf部分空間の存在を調査すること。
• Gδ位相におけるLindelöf数の振る舞いと、Lindelöf空間の積における性質を検討すること。
• 強制法や初等部分モデルなどの集合論的手法によって、MengerやD-空間などの位相的性質が保存されたり、誘導されたりするかどうかを明らかにすること。

提案手法

• CH、GCH、Kunenの衝突などの強制拡張を用いて、MengerやD-空間などの位相的性質が成り立つモデルを構成する。
• 超コンパクトや巨大基数などの大基数埋め込みを応用し、強制法におけるLindelöf性の保存を分析し、サイズℵ₁の部分空間を構成する。
• 初等部分モデルと一般化埋め込みを用いて、強制拡張下での空間の像とその位相的性質を分析する。
• 射影的性質（例：射影的にσ-コンパクト、射影的にMenger）を活用し、連続像を通じてメトリシズブルな空間から一般Lindelöf空間への結果の転送を行う。
• 対角積構成を用いて、分離可能メトリック空間への被覆を元の空間へと持ち上げる。
• Arhangel’skiĭの連続像の方法を活用し、一般Lindelöf問題を、既知の被覆性質（例：Menger）が適用可能なメトリック空間の設定に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての積的にLindelöf空間は、必然的に強力にLindelöfであるか？
• RQ2 すべての積的にLindelöf空間は、Alster性質を満たすか？
• RQ3 サイズℵ₁のすべてのLindelöf空間は、D-空間性質を満たすか？
• RQ4 ZFCまたは大基数の仮定のもとで、サイズℵ₂のすべてのLindelöf空間がサイズℵ₁のLindelöf部分空間を持つことができるか？
• RQ5 ZFCにおいて、Lindelöf空間上のGδ位相におけるLindelöf数が2^ℵ₀を超えることは可能か？

主な発見

• CHにより、すべての積的にLindelöf空間はMengerであり、したがってD-空間である。
• CHにより、重み≤ ℵ₁であるすべての積的にLindelöf空間はAlsterであり、したがって積的にも強力にもLindelöfである。
• 超コンパクト基数の仮定のもとで、GCHと整合的であることが示され、サイズℵ₂で性質≤ ℵ₁のRothberger空間は、サイズℵ₁のRothberger部分空間を持つ。
• 巨大基数の仮定のもとで、GCHと整合的であることが示され、サイズℵ₂の第一可算Lindelöf空間は、サイズℵ₁のLindelöf部分空間を持つ。
• 二つのLindelöf空間の積におけるLindelöf数は、2^ℵ₀を超える可能性がある。Shelahが示し、Gartiが簡略化したが、ZFCでの例はまだ知られていない。
• すべての非可算な可算的緊密なコンパクト空間が、サイズℵ₁のLindelöf部分空間を持つことは整合的であるが、ZFCでは未解決のままである。