[論文レビュー] Set theory for category theory

Michael Shulman|ArXiv.org|Oct 7, 2008

Advanced Algebra and Logic参考文献 34被引用数 64

ひとこと要約

この論文は、圏論における集合論的基礎の基礎的アプローチを包括的に比較し、ZFCにクラスを加えたものからトポス的・圏論的基礎に至るまで、さまざまな形式的定式化が、随伴函手や大規模極限といった重要な構成の実現可能性にどのように影響するかを評価している。基本的な圏論は基礎に依存せずに安定している一方で、高度な圏論的構成は、特に集合と固有クラスのサイズの区別に関して、選ばれた集合論的枠組みに強く依存していることが示されている。

ABSTRACT

Questions of set-theoretic size play an essential role in category theory, especially the distinction between sets and proper classes (or small sets and large sets). There are many different ways to formalize this, and which choice is made can have noticeable effects on what categorical constructions are permissible. In this expository paper we summarize and compare a number of such "set-theoretic foundations for category theory," and describe their implications for the everyday use of category theory. We assume the reader has some basic knowledge of category theory, but little or no prior experience with formal logic or set theory.

研究の動機と目的

• サイズの区別（小さなもの vs. 大きいもの）が、特に基礎的構成において果たす役割を明確にすること。
• サイズの問題を扱う複数の形式的体系——ZFC、NBG、MK、不動点基数、反映原理、トポス、代数的集合論——を特定・比較すること。
• 異なる基礎的選択が、特殊随伴函手定理のような中心的な定理の妥当性と表現可能性にどのように影響するかを説明すること。
• 特に大規模圏を含む高度な構成に必要な場合に、研究者がその目的に応じて適切な基礎を選択できるようにガイドすること。

提案手法

• ナチュラルなZFC、クラス付きのNBGおよびMK、不動点基数付きZFC、反射原理（ZFC/S、ZMC/S）、および圏論的基礎（ETCS、AST）の5つの主要な基礎的枠組みを調査・対比すること。
• 各体系が、特に極限、余極限、および随伴函手の文脈において、小さな集合と固有クラスの区別をどのように扱うかを分析すること。
• フレイドの特殊随伴函手定理を中心的事例として、基礎的仮定が主要な結果の証明可能性にどのように影響するかを示すこと。
• 古典的および構成的設定における置換公理と分離公理の振る舞いを、特にトポスとインデックス付き圏の文脈で検討すること。
• well-pointed性と選択公理が、古典的論理と構成的論理の関係において論理的枠組みの強さをどのように決定するかを評価すること。
• 2圏における大規模圏のオブジェクトとしての高次圏的代替案——特に集合論的サイズの区別に依存しない——を議論すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる集合論的基礎は、大規模圏における随伴函手の存在と構成にどのように影響するか？
• RQ2 反射原理や不動点基数を用いることは、圏論の整合性と表現力にどのような影響を与えるか？
• RQ3 極限と余極限の文脈において、小さな圏と大きな圏の区別がなぜ重要なのか。そして、基礎的体系はこの区別をどのように処理するか？
• RQ4 ETCS や AST といった圏論的基礎は、従来の集合論とは、サイズや置換の扱いにおいてどのように異なるか？
• RQ5 構成的論理や非well-pointedトポスでは、標準的な集合論的公理（特に置換と分離）がどの程度弱体化されたり、変更されたりするか？

主な発見

• 特殊随伴函手定理は、すべての標準的基礎的体系で証明可能であるが、弱い体系ではメタ理論的取り扱いや小さな定義可能性条件が必要になることがある。
• 圏にすべての射の積が存在する場合、固有クラスの射の族を含むと矛盾が生じる。これは、唯一の前順序圏しかこのような大規模積を許さないことを示しており、この結果は使用する論理に敏感であり、直観主義的設定では成立しない。
• 不動点基数を用いることで、小さな集合と大きな集合の明確な区別が可能になり、小さな極限の存在を保ちつつ、大規模圏の構成が可能になる。
• 不動点基数と組み合わせた反射原理により、集合論的枠組み内で大規模集合の振る舞いを内部化する手段が得られるが、整合性を保つために注意深い取り扱いが求められる。
• 構成的論理では、置換公理の強さが著しく低下し、非well-pointedトポスでは一般的に圏論的置換公理が定義可能でないため、その適用範囲が制限される。
• 高次圏的基礎、例えば大規模圏を2圏のオブジェクトとして見なす方法は、集合論的サイズの区別に依存するのを減らす有望な代替手段を提供するが、完全に満足のいく形式化はまだ開かれている。