[論文レビュー] Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods

A. Torres-Hernandez, F. Brambila-Paz|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2021

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 37被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、分数階微分作用素を集合を用いて分類することで、テンソル作用素、熱方程式、不動点法といった従来の微分積分学的対象を一般化する、新規な枠組み—集合の分数階微分法—を提案する。各収束する分数階不動点法が非可算な族の同様の方法を生成することを証明し、スカラー関数の臨界点解析を用いて平均収束順序を推定する数値的手法を提案する。

ABSTRACT

Considering the large number of fractional operators that exist, and since it does not seem that their number will stop increasing soon at the time of writing this paper, it is presented for the first time, as far as the authors know, a simple and compact method to work the fractional calculus through the classification of fractional operators using sets. This new method of working with fractional operators, which may be called fractional calculus of sets, allows generalizing objects of conventional calculus, such as tensor operators, the Taylor series of a vector-valued function, and the fixed-point method, in several variables, which allows generating the method known as the fractional fixed-point method. Furthermore, it is also shown that each fractional fixed-point method that generates a convergent sequence has the ability to generate an uncountable family of fractional fixed-point methods that generate convergent sequences. So, it is presented a method to estimate numerically in a region Ω the mean order of convergence of any fractional fixed-point method, and it is shown how to construct a hybrid fractional iterative method to determine the critical points of a scalar function. Finally, considering that the proposed method to classify fractional operators through sets allows generalizing the existing results of the fractional calculus, some examples are shown of how to define families of fractional operators that satisfy some property to ensure the validity of the results to be generalized.

研究の動機と目的

• 集合に基づく分類によって、分数階微分作用素の研究を単純化・統一すること。
• 従来の微分積分学的対象—例えば熱方程式、テイラー級数、不動点法—を分数階フレームワーク内で一般化すること。
• 各収束する分数階不動点法が非可算な族の収束する方法を生成することを示すこと。
• 領域 Ω における分数階不動点法の平均収束順序を数値的に推定する手法を開発すること。
• スカラー関数の臨界点を求めるためのハイブリッド分数階反復法を構築すること。

提案手法

• 集合を用いて分数階微分作用素を分類し、α→n の極限で通常の微分に収束する作用素の集合 Onx,α(h) を定義する。
• 分数階テンソル作用素の生成集合を構築し、それらを組み合わせて偏微分方程式に適した新しい作用素集合 Wn t,x,α(h) を定義する。
• 分数階作用素の極限を用いて古典的方程式を回復する：n=(1,1,1) のとき limα→n wα t,x h = (∂t − ∇²)h であり、n=(2,1,1) のとき limα→n wα t,x h = (∂²t − ∇²)h である。
• 多変数における不動点法を応用し、分数階不動点法を生成する。
• スカラー関数の臨界点を求める問題に還元することで、平均収束順序の数値推定技術を導出する。
• 分数階不動点反復の収束性を利用し、スカラー関数の臨界点を特定するためのハイブリッド分数階反復法を提案する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合論を用いた分数階微分法において、分数階微分作用素を体系的に分類・一般化する方法は何か？
• RQ2 多変数における不動点法を分数階に拡張できるか？ その結果得られる分数階不動点法が有する性質は何か？
• RQ3 分数階不動点法の収束性と、それらの収束する方法の非可算族の存在との関係は何か？
• RQ4 与えられた領域 Ω において、分数階不動点法の平均収束順序をどのように数値的に推定できるか？
• RQ5 スカラー関数の臨界点を求める問題を、ハイブリッド分数階反復法を用いて再定式化・解法可能か？

主な発見

• 分数階微分作用素の集合に基づく分類により、α→n の極限における分数階作用素の極限として、熱方程式や拡散方程式といった古典的微分積分学的対象を一般化できる。
• 収束する各分数階不動点法が、非可算な族の収束する分数階不動点法を生成することを、定理4.1で証明した。
• 領域 Ω 内の任意の分数階不動点法の平均収束順序は、導出されたスカラー関数の臨界点問題を解くことで数値的に推定可能である。
• 数値推定手法は収束解析により検証され、計算された Pi 値（例：P≈2.0994）がボール B(p;δK) 内に位置していることから、手法の整合性が確認された。
• スカラー関数の臨界点を特定するためのハイブリッド分数階反復法が成功裏に構築され、複数のテストケースにおいて収束性が検証された。
• 本フレームワークは、新たな分数階微分方程式の構築を可能とし、現在の分数階微分法を統合・拡張可能な広範な理論—集合の分数階微分法—の構築を示唆している。