[論文レビュー] Sets of large dimension not containing polynomial configurations

András Máthé|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Jan 2, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、有理数係数で最大次数 $d$ の多変数多項式によって定義される有限点配置を避ける、Hausdorff次元 $n/d$ のコンパクト集合を構成する一般的手法を提示する。主な貢献は、特定の幾何的配置（角度、距離、同一直線上の点など）を避けるが、次元の最適境界を達成する構成的フレームワークの確立である。特に、右角度 $\pi/2$ を避ける次元 $n/2$ の集合や、任意の角度を避ける次元 $n/8$ の集合が得られる。

ABSTRACT

The main result of this paper is the following. Given countably many multivariate polynomials with rational coefficients and maximum degree $d$, we construct a compact set $E\subset \R^n$ of Hausdorff dimension $n/d$ which does not contain finite point configurations corresponding to the zero sets of the given polynomials. Given a set $E\subset \R^n$, we study the angles determined by three points of $E$. The main result implies the existence of a compact set in $\R^n$ of Hausdorff dimension $n/2$ which does not contain the angle $π/2$. (This is known to be sharp if $n$ is even.) We show that there is a compact set of Hausdorff dimension $n/8$ which does not contain an angle in any given countable set. We also construct a compact set $E\subset \R^n$ of Hausdorff dimension $n/6$ for which the set of angles determined by $E$ is Lebesgue null. In the other direction, we present a result that every set of sufficiently large dimension contains an angle $ε$ close to any given angle.

研究の動機と目的

• 有理数係数の多変数多項式によって定義される有限点配置を避ける、制御可能なHausdorff次元を持つ$ℝ^n$内のコンパクト集合を構成する一般的手法の開発。
• 特定の角度や距離配置を含むために必要な最小次元に関する未解決問題の解明。
• Falconerの距離集合予想を強化し、Lebesgue零集合となる距離集合を有する次元 $n/2$ の集合を構成するとともに、追加の制約（例：有理数距離なし、同一直線上の点なし）を満たす。
• 特定の角度（$\pi/2$、$\pi/3$、$2\pi/3$ など）を避けるための鋭い次元閾値の特定。また、無理数角度に対してもその除外が可能であることを示す。

提案手法

• dyadic球と質量分布原理を用いた測度論的再帰的構成により、コンパクト集合の減少列 $F^k$ を構築する。
• パrameter $b_j$、$h_j$、$r_j$ を用いた $E_j''$ のパラメータ族とネスト構成により、極限集合の密度と次元を制御する。
• 任意の次数 $d$ の多項式 $P_j$ に対して、最終的な集合 $F$ に $P_j = 0$ を満たす $m_j$ 個の点の組が存在しないように、各段階でそのような配置を除外する。
• 球の半径 $r$ に含まれる現在の集合との交点数の見積もりを、$h_j$、$b_j$、$r$ に基づいて行い、質量分布原理を用いて次元の上限を得る。
• 角度（例：$\pi/2$ の場合 $\langle y-x,z-x\rangle = 0$）を定義する $3n$ 変数多項式に適用可能であり、有理数余弦値や無理数角度に対しても代数的近似により拡張可能。
• 最終的な集合 $F$ がHausdorff次元 $n/d$ 以上であることを示すために、関連する確率測度 $\mu$ が $\mu(B(x,r)) \leq C r^{n/d} (\log r^{-1})^{n+1}$ を満たすことを証明し、次元下限を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた角度 $\alpha$ を避ける$\mathbb{R}^n$ 内のコンパクト集合の最小Hausdorff次元は何か？
• RQ2 次元 $n/2$ の集合が右角度 $\pi/2$ を避けることは可能か？また、この次元は最適か？
• RQ3 任意の角度 $\alpha \in [0,\pi]$ を避ける次元 $n/8$ の集合を構成可能か？
• RQ4 角度集合がLebesgue測度ゼロとなる次元 $n/6$ の集合を構成可能か？
• RQ5 すべての有理数距離と同一直線上の点を避けるBorel集合の最大次元は何か？

主な発見

• Hausdorff次元 $n/2$ のコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ が存在し、右角度 $\pi/2$ を含まない。$n$ が偶数のとき、この境界は鋭い。
• 任意の可算個の角度の集合に対して、Hausdorff次元 $n/8$ のコンパクト集合が存在し、その集合はすべての角度を避ける。
• Hausdorff次元 $n/6$ のコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ が存在し、$E$ によって定まる角度の集合はLebesgue測度ゼロである。
• Hausdorff次元 $n/2$ のコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^n$ を構成可能であり、$D(E)$ はLebesgue零集合であり、有理数距離も同一直線上の点も含まず、すべての距離と方向が高々一度ずつ現れる。
• 本手法は、有理数係数で最大次数 $d$ の多項式によって定義される任意の可算個の配置を除外でき、それらを避ける次元 $n/d$ の集合を構成可能である。
• 任意の与えられた角度 $\alpha$ に対して、余弦値の有理数近似を用いることで、次元 $n/8$ のコンパクト集合が存在し、$\alpha$ を避けることが可能である（無理数角度に対しても）。