[論文レビュー] Sets of uniqueness for uniform limits of polynomials in several complex variables

Konstantinos G. Makridis, Vassili Nestoridis|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2013

Analytic and geometric function theory参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、複素多変数における多項式の一致する極限のための一意性集合を、閉単位球体 $\overline{B}_n$ および無限次元多面体 $\overline{D}^I$ において考察する。正の測度をもつ区別境界のコンパクト部分集合が、古典的および弦的距離設定の両方において一意性集合であることを確立し、Fubini型の議論と個別正則性を用いて、Privalovの定理を高次元に拡張する。

ABSTRACT

We investigate the sets of uniform limits $A(\bar{B}_n)$, $A(\bar{D}^I)$ of polynomials on the closed unit ball $\bar{B}_n$ of $\mathbb{C}^n$ and on the cartesian product $\bar{D}^I$ where $I$ is an arbitrary set and $\bar{D}$ is the closed unit disc in $\mathbb{C}$. We introduce the notion of set of uniqueness for $A(\bar{D}^I)$ (respectively for $A(\bar{B}_n)$) for compact subsets $K$ of $T^I$ (respectively of $\partial \bar{B}_n$) where $T=\partial D$ is the unit circle. Our main result is that if $K$ has positive measure then $K$ is a set of uniqueness. The converse does not hold. Finally, we do a similar study when the uniform convergence is not meant with respect to the usual Euclidean metric in $\mathbb{C}$, but with respect to the chordal metric $χ$ on $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$.

研究の動機と目的

• 単位円板におけるPrivalovの定理の一意性集合に関する結果を、単位球体 $\overline{B}_n$ や無限次元多面体 $\overline{D}^I$ などの高次元領域へ拡張すること。
• 多項式の一致極限からなる代数 $A(\overline{D}^I)$ および $A(\overline{B}_n)$ の一意性集合を定義し、分析すること。
• 複素平面 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 上のユークリッド距離に弦的距離 $\chi$ を導入することで、より大きな代数 $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ および $\tilde{A}(\overline{B}_n)$ が得られることを考察し、その影響を評価すること。
• 一意性集合に対する正の測度条件の逆が成り立つかどうかを特定し、測度がゼロであっても一意性集合として成立する例を検討すること。
• 代数 $A(\overline{D}^I)$ および $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ の位相的および距離的構造を確立し、稠密性や完備性の性質を含めて検討すること。

提案手法

• 関数が $\overline{D}^I$ 上で連続で、各変数について個別に正則であり、多項式の一致極限として表される関数の空間 $A(\overline{D}^I)$ を定義する。
• 区別境界 $T^I = \partial \overline{D}^I$ を用い、その上に積測度を導入して正の測度を持つ集合を定義する。
• 積測度設定下でFubiniの定理とPrivalovの定理を適用し、$A(\overline{D}^I)$ に対して正の測度が一意性を意味することを示す。
• $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ に拡張し、関数が値 $\infty$ をとることを許容する拡張された設定において、一意性を定義する。
• $\overline{B}_n$ に対しては、球対称性と境界 $\partial \overline{B}_n$ 上の自然な面積測度を用いたFubiniの定理を適用し、正の測度が一意性を意味することを証明する。
• $A(\overline{B}_n) \subseteq \tilde{A}(\overline{B}_n)$ であることと、多面体分解 $X_{r_1,\dots,r_{n-1}}$ を用いて、球体の結果を多面体の結果に結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト部分集合 $K \subseteq \partial \overline{D}^I$ が $A(\overline{D}^I)$ に対して一意性集合であるための条件は何か？
• RQ2 $A(\overline{D}^I)$ に対して一意性集合である集合は、必ず正の測度をもつのか。それとも測度ゼロの集合でも一意性集合となり得るのか？
• RQ3 $\mathbb{C} \cup \{\infty\}$ 上の弦的距離 $\chi$ の導入が、多項式の一致極限のクラスおよび一意性の概念にどのように影響を与えるか？
• RQ4 $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ や $A(\overline{B}_n)$ において、正の測度条件の逆が成り立つかどうか？
• RQ5 $A(\overline{D}^I)$ と $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ の間の関係は、位相、稠密性、完備性の観点からどのように規定されるか？

主な発見

• 区別境界 $T^I$ 上の積測度に関して、コンパクト集合 $K \subseteq \partial \overline{D}^I$ が正の測度をもつならば、$K$ は $A(\overline{D}^I)$ に対して一意性集合である。
• $I$ が少なくとも2つの要素をもつ場合、測度ゼロであっても $\partial \overline{D}^I$ 内のコンパクト集合 $K$ が $A(\overline{D}^I)$ に対して一意性集合である例が存在する。
• 単位球体 $\overline{B}_n$ に対しては、境界 $\partial \overline{B}_n$ 内の任意のコンパクト集合 $K$ が正の測度をもつならば、$A(\overline{B}_n)$ および $\tilde{A}(\overline{B}_n)$ の両方に対して一意性集合である。
• $n \geq 2$ の場合、逆は成り立たない：$A(\overline{B}_n)$ に対して測度ゼロの一意性集合が存在する。例として、$r_j > 0$ である $X_{r_1,\dots,r_{n-1}}$ がある。
• $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ は $A(\overline{D}^I)$ を真に含み、$A(\overline{D}^I)$ は $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ において開かつ稠密である。自然な位相に関して、$A(\overline{D}^I)$ は $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ において開かつ稠密である。
• $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ は、$\overline{D}^I$ 上で連続で、各変数について $\tilde{A}(\overline{D})$ に属する関数からなる。また、$T^I$ 内のコンパクト集合 $K$ が正の測度をもつならば、$K$ は $\tilde{A}(\overline{D}^I)$ に対して一意性集合である。