[論文レビュー] Sets with small angles in self-contracted curves

Vladimir Zolotov|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2018

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、『SRA(α)-フリー』空間——粗い角度が小さい大きな部分空間を含まない距離空間——の概念を導入することで、広範な距離空間のクラスにおいて有界な自己折り畳み曲線の可微分性を確立する。非可微分な自己折り畳み曲線は、任意に大きなSRA(α)部分空間を含む必要があることが示され、その結果、逆可微分性を持つ$C^\infty$-Finsler多様体、局所コンパクトな$\textrm{CAT}(k)$-空間（測地線が延長可能）、および同じ条件下でのBusemann空間において、有界な自己折り畳み曲線は可微分であることが保証される。

ABSTRACT

We study metric spaces with bounded rough angles. E. Le Donne, T. Rajala and E. Walsberg implicitly used this notion to show that infinite snowflakes can not be isometrically embedded into finite dimensional Banach spaces. We show that bounded non-rectifiable self-contracted curves contain metric subspaces with bounded rough angles. Which provides rectifiability of bounded self-contracted curves in a wide class of metric spaces including reversible $C^{\infty}$-Finsler manifolds, locally compact $CAT(k)$-spaces with locally extendable geodesics and locally compact Busemann spaces with locally extendable geodesics. We also extend the result on non embeddability of infinite snowflakes to this class of spaces.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間やリーマン幾何学の設定を越えて、広範な距離空間クラスにおける有界な自己折り畳み曲線の可微分性を確立すること。
• 可微分性を阻害する幾何的障害——小さな粗い角度（SRA(α)部分空間）を有する部分空間——を同定すること。
• このような部分空間の不在（すなわちSRA(α)-フリー性）が、自己折り畳み曲線の可微分性を示すこと。
• 無限大スノーフレークが有限次元バナッハ空間に埋め込めないという結果を、より広い距離空間クラスへと拡張すること。
• 新しい内在的幾何的枠組みを用いて、$\textrm{CAT}(0)$、リーマン、ノルム空間における既存の可微分性結果を統合・一般化すること。

提案手法

• 不等式$ d(x,y) \leq \max\{ d(x,z) + \alpha d(z,y), \alpha d(x,z) + d(z,y) \} $を満たす$\textrm{SRA}({\beta})$空間の概念を導入し、これは一様に小さな粗い角度を持つ距離空間を捉える。
• 有限距離集合で$ i \leq j \leq k $のとき$ d(x_i,x_j) \leq d(x_i,x_k) $を満たすものとして、離散的自己拡張（DSE）空間を定義し、自己折り畳み曲線の離散的構造をモデル化する。
• DSE空間の全長$ L(X) $が$ C({\alpha},k) \cdot D(X) $を超えるならば、$ k $点の$ \textrm{SRA}({\alpha}) $部分空間を含む（定理2を証明）。
• ある$ k $に対して$ k $点の$ \textrm{SRA}({\alpha}) $部分空間を含まない（すなわち$ \textrm{SRA}({\alpha}) $-フリー）空間では、有界な自己折り畳み曲線が可微分であることを示す。
• ラマジー理論的および鳩の巣原理の議論を用いて、$ \textrm{LEG} $および$ \textrm{LRB} $条件を満たす空間が局所的に$ \textrm{SRA}({\alpha}) $-フリーであることを確立する。
• 背理法を用いる：曲線が非可微分ならば、その像は任意に大きな$ \textrm{SRA}({\alpha}) $部分空間を含むが、これは目的空間における局所的$ \textrm{SRA}({\alpha}) $-フリー性に矛盾する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユークリッド空間やリーマン幾何学の設定を超えて、一般の距離空間において有界な自己折り畳み曲線の可微分性を確立できるか？
• RQ2 自己折り畳み曲線の可微分性を阻害する内在的幾何的性質は何か？
• RQ3 どのような距離空間の条件下で自己折り畳み曲線が可微分のままであるか？
• RQ4 無限大スノーフレークが有限次元バナッハ空間に埋め込めないという結果を、他の距離空間クラスへと拡張できるか？
• RQ5 測地線の延長可能性や曲率の上限といった幾何的条件は、$ \textrm{SRA}({\alpha}) $部分空間の不在とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の$ \frac{1}{2} < \alpha < 1 $に対して、非可微分な自己折り畳み曲線は、任意に大きな$ \textrm{SRA}({\alpha}) $部分空間を含むことが定理2で形式化されている。
• 完全で可逆な$ C^\infty $-Finsler多様体では、局所的$ \textrm{SRA}({\alpha}) $-フリー性のおかげで、有界な自己折り畳み曲線は可微分である。
• 局所コンパクトで完全な$ \textrm{CAT}(k) $-空間（局所的に測地線が延長可能）では、$ \textrm{LEG} $および$ \textrm{LRB} $条件を満たすため、有界な自己折り畳み曲線は可微分である。
• 局所コンパクトで完全なBusemann空間（局所的に測地線が延長可能）においても、再び局所的$ \textrm{SRA}({\alpha}) $-フリー性のため、有界な自己折り畳み曲線は可微分である。
• 無限大スノーフレークが有限次元バナッハ空間に埋め込めないという結果は、SRA(α)-フリー空間、特に上記のクラスへと拡張可能である。
• 球の倍加条件から、このような空間内のSRA(α)-フリー集合は一様にサイズが有界であることが示され、これは鳩の巣原理に基づく可微分性の結果を支持する。