[論文レビュー] Settling the Complexity of Computing Two-Player Nash Equilibria

Xi Chen, Xiaotie Deng+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2007

Game Theory and Applications参考文献 35被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、2人ゲーム（バイマトリックス）におけるナッシュ均衡の計算がPPAD完全であることを確立し、アルゴリズムゲーム理論における長年の未解決問題を解決した。著者らは、PPADがPに含まれる限り、Bimatrixに対して完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在しないことを証明した。また、Lemke-Howsonアルゴリズムの滑らかさ複雑度が、PPAD問題が確率的多項式時間で解ける限り、多項式ではないことを示した。

ABSTRACT

We settle a long-standing open question in algorithmic game theory. We prove that Bimatrix, the problem of finding a Nash equilibrium in a two-player game, is complete for the complexity class PPAD Polynomial Parity Argument, Directed version) introduced by Papadimitriou in 1991. This is the first of a series of results concerning the complexity of Nash equilibria. In particular, we prove the following theorems: Bimatrix does not have a fully polynomial-time approximation scheme unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time. The smoothed complexity of the classic Lemke-Howson algorithm and, in fact, of any algorithm for Bimatrix is not polynomial unless every problem in PPAD is solvable in randomized polynomial time. Our results demonstrate that, even in the simplest form of non-cooperative games, equilibrium computation and approximation are polynomial-time equivalent to fixed point computation. Our results also have two broad complexity implications in mathematical economics and operations research: Arrow-Debreu market equilibria are PPAD-hard to compute. The P-Matrix Linear Complementary Problem is computationally harder than convex programming unless every problem in PPAD is solvable in polynomial time.

研究の動機と目的

• 2人ゲームにおけるナッシュ均衡を求める問題の計算複雑性に関する長年の未解決問題を解明すること。
• Bimatrix問題が、パリティに基づく存在証明を持つ全探索問題を捉える複雑度クラスPPADに完全であることを確立すること。
• 2人ゲームにおけるナッシュ均衡の近似が、PPADに属する任意の問題を解くのと同程度に難しいことを示すこと。
• Lemke-Howsonアルゴリズムの滑らかさ複雑度を分析し、PPADが確率的多項式時間に含まれる限り、その複雑度が多項式でないことを示すこと。
• アーロウ＝デブール市場均衡やP行列線形補完性問題といった、数学的経済学におけるより広範な問題へ、複雑度結果を拡張すること。

提案手法

• 離散的固定点問題を介して、Brouwerの不動点定理の計算版へのBimatrix問題の還元。
• End-of-Line問題からBimatrixへの還元の構築により、PPAD完全性の確立。
• PPAD完全性フレームワークの適用により、Bimatrixを解く任意のアルゴリズムが、PPADに属する任意の問題を解くのと同程度に難しいことを示すこと。
• Lemke-Howsonアルゴリズムに対する滑らかさ解析の適用により、小さな確率的摂動のもとでもその期待実行時間が超多項式のまま残ることを示すこと。
• PPADがパリティに基づく存在証明を持つ問題を捉えることを活用し、Bimatrixがこのクラスに完全であることを示すこと。
• PPAD完全性が、完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在しないことを示すことを活用すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2人ゲームにおけるナッシュ均衡を計算する問題は、複雑度クラスPPADに完全であるか？
• RQ2 Bimatrixに完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在するならば、すべてのPPAD問題が多項式時間で解けることを意味するか？
• RQ3 Lemke-Howsonアルゴリズムの滑らかさ複雑度は多項式的か、それとも小さな確率的摂動のもとで超多項式的か？
• RQ4 アーロウ＝デブール市場均衡は、計算においてPPAD困難であるか？
• RQ5 P行列線形補完性問題は、PPADがPに含まれる限り、凸プログラミングよりも計算的に難しいか？

主な発見

• 2人ゲームにおけるナッシュ均衡を計算する問題（Bimatrix）はPPAD完全である。
• すべてのPPAD問題が多項式時間で解ける限り、Bimatrixには完全多項式時間近似スキーム（FPTAS）が存在しない。
• すべてのPPAD問題が確率的多項式時間で解ける限り、Lemke-Howsonアルゴリズムの滑らかさ複雑度は多項式でない。
• アーロウ＝デブール市場均衡は、計算においてPPAD困難である。
• P行列線形補完性問題は、PPADがPに含まれる限り、凸プログラミングよりも計算的に難しい。
• r人ゲームにおけるナッシュ均衡の計算の複雑度は、多項式時間で2人ゲームにおけるナッシュ均衡の計算に還元可能であるが、その還元は直接的ではない。