[論文レビュー] Several classes of minimal linear codes with few weights from weakly regular plateaued functions

Sihem Mesnager, Ahmet Sınak|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 35被引用数 89

ひとこと要約

この論文は、weakly regular plateaued functions over finite fields of odd characteristic から線形コードを構築し、その weight distributions を決定し、minimal subcodes を導出し、コードの minimality を証明することで、その dual からの nice secret sharing schemes を実現します。

ABSTRACT

Minimal linear codes have significant applications in secret sharing schemes and secure two-party computation. There are several methods to construct linear codes, one of which is based on functions over finite fields. Recently, many construction methods of linear codes based on functions have been proposed in the literature. In this paper, we generalize the recent construction methods given by Tang et al. in [IEEE Transactions on Information Theory, 62(3), 1166-1176, 2016] to weakly regular plateaued functions over finite fields of odd characteristic. We first construct three weight linear codes from weakly regular plateaued functions based on the second generic construction and determine their weight distributions. We next give a subcode with two or three weights of each constructed code as well as its parameter. We finally show that the constructed codes in this paper are minimal, which confirms that the secret sharing schemes based on their dual codes have the nice access structures.

研究の動機と目的

• weakly regular plateaued functions を用いて few weights の線形コードの構築を動機づける。
• 既存の second generic construction methods を奇特徴数設定へ一般化する。
• これらの関数から three-weight および two/three-weight コードのウェイト分布を導出する。
• 最小のコードを作成し、それらのデュアルを秘密共有スキームのアクセス構造のために分析する。

提案手法

• finite fields の関数からの second generic construction の一般的方法を利用する。
• weakly regular p-ary s-plateaued functions およびそれらの Walsh 変換を特徴づける。
• 指数和技法と Walsh 変換の特性を用いてウェイト分布を計算する。
• two- and three-weight のサブコードを抽出し、パラメータを決定する。
• Ashikhmin–Barg 条件および関連レマを用いて構築コードの最小性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 weakly regular plateaued functions が odd characteristic fields 上で few weights の新しい minimal linear codes を生み出すか。
• RQ2 second generic construction の下でこれらの関数から得られるコードのウェイト分布はどうなるか。
• RQ3 得られたコードがどの条件で最小となり、それがデュアルコードを介した秘密共有 schemes のアクセス構造にどのように影響するか。
• RQ4 main codes から派生した two-weight および three-weight のサブコードのパラメータと明示的構成は。
• RQ5 構築されたコードのデュアルが秘密共有の良いアクセス構造を許すか。

主な発見

• weakly regular plateaued functions から odd characteristic の有限域上で three-weight linear codes を構築する。
• 構築されたコードのウェイト分布を決定し、two-weight および three-weight サブコードの条件を特定する。
• 構築コードがほぼ全てのケースで最小であることを示し、それによりデュアル秘密共有スキームのアクセス構造が良いことを示唆する。
• 二次的 Bent-function ベースの構築を plateaued functions へ拡張し、second generic construction で利用可能な関数のクラスを広げる。
• ウェ Walsh スペクトルと plateaued function のコードパラメータおよび最小性との理論的基盤を提供する。