[論文レビュー] Several new domain-type and boundary-type numerical discretization schemes with radial basis function

W. Chen|ArXiv.org|Apr 23, 2001

Numerical methods in engineering参考文献 26被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、径数基底関数（RBFs）を用いた偏微分方程式の解法のための、新規のメッシュレスで対称的かつ積分を要しない数値スキームを提案する。境界型手法として対称境界巻き戻し法（BKM）と境界粒子法（BPM）を、領域型手法として修正カナ法（MKM）と有限巻き戻し法（FKM）を提案し、高次基本解とヘルミート型離散化を用いることで、境界付近の精度を向上させる。

ABSTRACT

This paper is concerned with a few novel RBF-based numerical schemes discretizing partial differential equations. For boundary-type methods, we derive the indirect and direct symmetric boundary knot methods (BKM). The resulting interpolation matrix of both is always symmetric irrespective of boundary geometry and conditions. In particular, the direct BKM applies the practical physical variables rather than expansion coefficients and becomes very competitive to the boundary element method. On the other hand, based on the multiple reciprocity principle, we invent the RBF-based boundary particle method (BPM) for general inhomogeneous problems without a need using inner nodes. The direct and symmetric BPM schemes are also developed. For domain-type RBF discretization schemes, by using the Green integral we develop a new Hermite RBF scheme called as the modified Kansa method (MKM), which differs from the symmetric Hermite RBF scheme in that the MKM discretizes both governing equation and boundary conditions on the same boundary nodes. The local spline version of the MKM is named as the finite knot method (FKM). Both MKM and FKM significantly reduce calculation errors at nodes adjacent to boundary. In addition, the nonsingular high-order fundamental or general solution is strongly recommended as the RBF in the domain-type methods and dual reciprocity method approximation of particular solution relating to the BKM. It is stressed that all the above discretization methods of boundary-type and domain-type are symmetric, meshless, and integration-free. The spline-based schemes will produce desirable symmetric sparse banded interpolation matrix. In appendix, we present a Hermite scheme to eliminate edge effect on the RBF geometric modeling and imaging.

研究の動機と目的

• 径数基底関数を用いた、対称的でメッシュレスかつ積分を要しない偏微分方程式の数値スキームの開発。
• RBF法における境界付近の誤差蓄積問題に対処するため、ヘリュート型離散化と局所スプライン近似を導入すること。
• 境界型手法における多重再帰原理を用いて、非同次問題における内部ノードの必要性を排除すること。
• 特異性のない高次基本解または一般解を用いることで、RBFに基づく手法の効率性と精度を向上させること。
• 数値的安定性と計算性能を向上させるために、対称的でスパースかつバンド行列構造を持つ補間行列を提供すること。

提案手法

• 間接的および直接的対称境界巻き戻し法（BKM）を構築し、境界形状や境界条件に関係なく、常に対称的補間行列を保証する。
• 多重再帰原理を用いたRBFに基づく境界粒子法（BPM）を導入し、内部ノードを必要とせずに非同次項を処理する。
• 修正カナ法（MKM）を提案する。これは、同じ境界ノード上で偏微分方程式と境界条件を両方離散化するヘルミート型RBFスキームである。
• 有限巻き戻し法（FKM）を導入し、MKMの局所スプライン版として位置づけ、安定性を向上させ、境界付近の誤差を低減する。
• 領域型手法において、特異性のない高次基本解または一般解をRBFとして用い、BKMでは双対再帰近似を適用することで、精度を向上させる。
• 付録においてヘルミートスキームを適用し、RBFに基づく幾何モデリングおよび画像処理における端効果を軽減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界型および領域型の両方の離散化に対して、対称的でメッシュレスかつ積分を要しないRBFスキームをどのように構築できるか。
• RQ2 カナ法で一般的に見られる境界ノード誤差を、ヘルミート型離散化によって顕著に低減できるか。
• RQ3 内部ノードを必要としない境界粒子法によって、非同次PDEを境界ノードのみで解くことは可能か。
• RQ4 特異性のない高次基本解を用いることで、領域型RBF法の条件数と精度にどのような影響を与えるか。
• RQ5 局所スプライン近似（例：FKM）を用いることで、補間行列のスパarsityとバンド幅を向上させつつ、対称性を維持できるか。

主な発見

• 対称境界巻き戻し法（BKM）は、境界形状や境界条件に関係なく、常に対称的補間行列を生成する。
• 直接的BKMは、展開係数の代わりに物理変数を用いるため、精度と効率の面で境界要素法と同等の性能を示す。
• 境界粒子法（BPM）は、多重再帰原理のおかげで、内部ノードを必要とせずに非同次問題を効果的に解ける。
• 修正カナ法（MKM）は、同じ境界ノード上でPDEと境界条件を離散化することで、境界付近での精度を著しく向上させる。
• 有限巻き戻し法（FKM）は、MKMの局所スプライン版として位置づけられ、境界に隣接するノードの誤差を顕著に低減する。
• 領域型手法において特異性のない高次基本解または一般解を用いることで、より良好な条件数と高い精度が得られる。