[論文レビュー] Several new quadrature formulas for polynomial integration in the triangle

Mark A. Taylor, Beth Wingate+1 more|ArXiv.org|Jan 27, 2005

Numerical Methods and Algorithms参考文献 12被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、25次までの多項式を正確に積分できる三角形における最適な求積公式を計算するための新しい基数関数アルゴリズムを提示する。多項式空間の次元に一致する求積点数を制約することで、ニュートン型最適化を用いて点の位置と重みを効率的に求め、正の重みとすべての点が三角形内にある7つの新しい公式を導出する。

ABSTRACT

We present several new quadrature formulas in the triangle for exact integration of polynomials. The points were computed numerically with a cardinal function algorithm which imposes that the number of quadrature points $N$ be equal to the dimension of a lower dimensional polynomial space. Quadrature forumulas are presented for up to degree $d=25$, all which have positive weights and contain no points outside the triangle. Seven of these quadrature formulas improve on previously known results.

研究の動機と目的

• 三角形における高次多項式の正確な積分を実現する数値的に効率的な最適求積公式の計算手法を開発すること。
• 最適化のための解析的勾配表現を保持しつつ未知数の数を削減する基数関数アルゴリズムを用いることで、従来手法の制限を克服すること。
• 正の重みとすべての点が三角形内に厳密に位置する求積規則を生成し、既存の文献における結果を改善すること。
• 25次までの多項式積分に対して、点数が最適または近似的に最適となるようにすること。この際、基数関数制約と自由度の上限を満たす必要がある。

提案手法

• 本手法は、求積点数 $ N $ を多項式空間 $ \mathcal{P}_d $ の次元に等しく設定する基数関数アルゴリズムを用いる。すなわち、$ N = \frac{1}{2}(d+1)(d+2) $ である。
• 正規直交Kornwinder-Dubiner多項式基底関数を用いた線形方程式系を解くことで、$ \mathcal{P}_d $ の正確な積分を保証するニュートン・コーツ型重みを導出する。
• 多変数へのニュートン・コーツ型重みの一般化を用い、重みの変化と点の位置の変化との間の解析的関係を確立することで、最適化のための効率的な勾配計算を可能にする。
• 勾配降下法またはニュートン反復法を用いて、点の位置を最適化し、$ \mathcal{P}_{d+e} $ の高次多項式の積分を可能にする。対称性の制約は課さない。
• 自由度の上限 $ \dim\mathcal{P}_{d+e} \leq 3N $ を用いて、理論的に達成可能な積分次数 $ d+e $ の上限を特定する。
• 正規化された $ L^2 $-ノルムが2である正規直交基底関数を用いた最大求積誤差を計算することで、解の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数関数アルゴリズムは、点数が最適で、25次までの多項式を正確に積分できる三角形における求積公式を生成できるか？
• RQ2 このような手法は、対称性を仮定しなくても、すべての重みが正で、すべての点が三角形外に存在しない求積規則を導出できるか？
• RQ3 計算された求積公式は、三角形における多項式積分について、既存の文献で知られている最良の結果を改善するか？
• RQ4 基数関数制約下で、$ N = \dim\mathcal{P}_d $ 個の点を用いて、最大でどの程度の多項式次数まで正確に積分できるか？

主な発見

• 16次から25次までの多項式積分を対象とした7つの新しい求積公式が、点数を減らすことで、既に発表済みの結果を改善した。
• 13次の場合、36個の点が三角形内に位置し、正の重みを持つ新しい公式が得られ、対称点が定義域外に存在する先行研究の結果を上回った。
• 計算されたすべての求積規則は正の重みであり、すべての点が三角形内に厳密に位置しており、対称性の制約を課さないままに達成された。
• すべての正規直交基底関数に対する最大求積誤差は $ 4.3 \times 10^{-14} $ 未満であり、高い数値的精度を示している。
• 本手法は、基数関数制約と自由度の上限 $ \dim\mathcal{P}_{d+e} \leq 3N $ の両方を満たすように、25次まで最適または近似的に最適な公式を効果的に計算できた。
• 11次、13次、14次、16次、17次、18次、25次の次数に対して、非対称な解が得られ、'asym' と表記された。これは、最適性能を達成するのに対称性が必須でないことを示している。