[論文レビュー] Several new tail index estimators

Vygantas Paulauskas, Marijus Vaiÿciulis|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、重尾分布のための改善された尾指数推定量を構築するために、$ g_{r,u}(x) = x^r \ln^u(x) $ という新しい非単調で累乗対数関数のクラスを導入する。これらの関数を用いて極値順序統計量の比に基づく推定量を構成することで、第二順序パラメータの全範囲にわたり、Hill推定量や他の古典的推定量よりも優れた漸近的性能を達成する。理論的に漸近正規性と低い漸近的平均二乗誤差（AMSE）が確立され、シミュレーションによって裏付けられている。

ABSTRACT

In the paper we propose some new class of functions which is used to construct tail index estimators. Functions from this new class is non-monotone in general, but presents a product of two monotone functions: the power function and the logarithmic function, which plays essential role in the classical Hill estimator. Introduced new estimators have better asymptotic performance comparing with the Hill estimator and other popular estimators over all range of the parameters present in the second order regular variation condition. Asymptotic normality of the introduced estimators is proved, and comparison (using asymptotic mean square error) with other estimators of the tail index is provided. Some preliminary simulation results are presented.

研究の動機と目的

• 第二順序正則変動パラメータの全範囲にわたり、既存の手法を上回る性能を示す新しい尾指数推定量のクラスを開発すること。
• Hill推定量やPickands推定量のような古典的推定量の単調性の制限を克服するため、対数構造を保ちつつ非単調な関数を導入すること。
• 新しい推定量の漸近正規性を確立し、漸近的平均二乗誤差（AMSE）を導出することで、既存手法との理論的比較を可能にすること。
• Hill推定量の理論的裏付けが強く、有限標本性能が向上した代替手法を理論的に根拠づけ、実証的に検証すること。

提案手法

• $ x \geq 1 $ に対して、$ r \in \mathbb{R} $, $ u \in \mathbb{R} $ で、制約条件 $ \gamma r < 1 $, $ u > -1 $ を満たすパラメトリック関数族 $ g_{r,u}(x) = x^r \ln^u(x) $ を提案し、$ u $ を整数に制限する。
• 極値順序統計量の比に基づいて、$ G_n(k,r,u) = \frac{1}{k} \sum_{i=0}^{k-1} g_{r,u}\left( \frac{X_{n-i,n}}{X_{n-k,n}} \right) $ という新しい統計量を定義する。
• $ G_n(k,r,0) $, $ G_n(k,r,1) $, $ G_n(k,0,2) $ を用いた閉形式の式を含む、$ \hat{\gamma}^{(1)}_n, \hat{\gamma}^{(2)}_n, \hat{\gamma}^{(3)}_n $ の3つの新しい推定量を構築する。
• 多変量中心極限定理と連続写像定理を用いて推定量の漸近正規性を証明し、複雑な関数的デルタ法を回避する。
• 漸近的平均二乗誤差（AMSE）の式を導出し、Hill推定量、モーメント推定量、モーメント比推定量のそれらと比較する。
• シミュレーションスタディを用いて理論的結果の初期的な実証的妥当性を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 累乗および対数成分を組み合わせた新しい非単調関数のクラスが、Hill推定量を上回る尾指数推定に寄与できるか。
• RQ2 第二順序パラメータの異なる設定において、新しい推定量の漸近的バイアスと分散が、Hill推定量、モーメント推定量、モーメント比推定量と比べてどのように異なるか。
• RQ3 提案された推定量族は、尾指数値と第二順序パラメータの全範囲にわたり、良好な有限標本性能を維持できるか。
• RQ4 複雑な関数的中心極限定理に依存せずに、新しい推定量の漸近正規性とAMSE式を厳密に導出できるか。

主な発見

• 新しい推定量は、第二順序パラメータの全範囲にわたり、Hill推定量や他の代表的推定量よりも優れた漸近的性能を示す。
• 多変量中心極限定理と連続写像定理を用いて、提案された推定量の漸近正規性が厳密に確立された。
• すべての検討されたパrameter設定において、新しい推定量の漸近的平均二乗誤差（AMSE）は、Hill推定量や他の古典的推定量よりも一貫して低かった。
• $ \hat{\gamma}^{(3)}_n $ は $ r \neq 0 $ の場合に漸近的に不偏（バイアス $ B^{(2)} = 0 $）であることが示されたが、$ r = 0 $ の場合にはバイアスが発散するため、対数的極限における構造的制限が存在することが明らかになった。
• 理論的分析により、新しい推定量は一貫性を有し、標準的な $ \sqrt{k} $ 速度で収束することが確認され、既存手法と同等またはそれ以上の収束速度を示した。
• 初期のシミュレーション結果は理論的結果を支持しており、尾指数と第二順序パラメータのさまざまな設定において、新しい推定量が優れた有限標本性能を示していることが示された。