[論文レビュー] Sextic tensor field theories in rank $3$ and $5$

Dario Benedetti, Nicolas Delporte+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 69被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、d < 3次元においてU(N)³およびO(N)⁵の対称性をもつランク3およびランク5の六次テンソル場理論を、大N展開を用いて4ループまでのβ関数を計算することにより研究する。メロン的相互作用固定点を同定する。ランク3モデルでは、d = 3−ϵにおける√ϵに比例する結合定数を持つウィルスン＝ファイアーベルク型固定点、および実数の結合定数g₁をもつ長距離伝播関数に対して連続的な固定点の直線が存在する。ランク5モデルでは、このような固定点は存在しない。双線形オペレーターのスペクトルは、小さなϵまたは小さなg₁に対して実数であることが判明し、ユニタリティを支持する。

ABSTRACT

We study bosonic tensor field theories with sextic interactions in $d<3$ dimensions. We consider two models, with rank-3 and rank-5 tensors, and $U(N)^3$ and $O(N)^5$ symmetry, respectively. For both of them we consider two variations: one with standard short-range free propagator, and one with critical long-range propagator, such that the sextic interactions are marginal in any $d<3$. We derive the set of beta functions at large $N$, compute them explicitly at four loops, and identify the respective fixed points. We find that only the rank-3 models admit a melonic interacting fixed points, with real couplings and critical exponents: for the short-range model, we have a Wilson-Fisher fixed point with couplings of order $\sqrt{\epsilon}$, in $d=3-\epsilon$; for the long-range model, instead we have for any $d<3$ a line of fixed points, parametrized by a real coupling $g_1$ (associated to the so-called wheel interaction). By standard conformal field theory methods, we then study the spectrum of bilinear operators associated to such interacting fixed points, and we find a real spectrum for small $\epsilon$ or small $g_1$.

研究の動機と目的

• d < 3次元における六次相互作用をもつボソン的テンソル場理論に非自明な相互作用固定点が存在するかを調査すること。
• 短距離および臨界的長距離伝播関数の下でのランク3およびランク5テンソルモデルの挙動を比較すること。
• メロン的優位性が実数の臨界指数およびユニタリな conformal field theory (CFT) をもたらすかを特定すること。
• 大N極限において4ループまでにβ関数を計算し、固定点およびオペレーター スペクトルを分析すること。

提案手法

• それぞれU(N)³およびO(N)⁵のグローバル対称性をもつランク3およびランク5のテンソル場理論を、六次相互作用とともに構築する。
• 2種類の伝播関数を導入する：標準的な短距離（ζ=1）および臨界的な長距離（ζ=d/3）であり、d<3において六次相互作用が臨界的になるようにする。
• 大N展開を用いて、2PI有効作用および4点核を通じて、結合定数の4ループまでβ関数を計算する。
• メロン積分法を用いて波動関数および頂点の正規化を計算し、メロン極限におけるシュヴィンガー＝ダイソン方程式およびベーテ＝サルペーター方程式を解く。
• 4ループで明示的にβ関数を導出し、β(g*)=0を解くことにより固定点を同定する。
• 共形場理論の技術を用いて双線形オペレーターのスペクトルを分析し、臨界次元およびOPE係数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長距離伝播関数をもつd < 3次元におけるランク3およびランク5の六次テンソル場理論は、メロン的相互作用固定点を有するか？
• RQ2 特に長距離の場合において、実数の結合定数および実数の臨界指数を達成できるか？
• RQ3 ランク3およびランク5モデルにおける短距離および長距離伝播関数の下で、β関数および固定点はどのように異なるか？
• RQ4 特に小さなϵまたは小さな結合定数g₁の場合に、双線形オペレーターのスペクトルは実数的でユニタリか？
• RQ5 対称性（U(N)³ 対 O(N)⁵）およびテンソルランクは、メロン的優位性および固定点の存在を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• メロン的相互作用固定点を有するのは、ランク3モデルに限る。実数の結合定数および臨界指数を有する。
• 短距離ランク3モデルでは、d = 3−ϵにおける√ϵに比例する結合定数を持つウィルスン＝ファイアーベルク型固定点が存在する。
• 長距離ランク3モデルでは、実数の結合定数g₁によってパラメトライズされる連続的な固定点の直線が存在し、すべてのd < 3で有効である。
• ランク5モデルでは、実数の結合定数をもつメロン的相互作用固定点は存在しない。
• 双線形オペレーターのスペクトルは、小さなϵ（短距離）または小さなg₁（長距離）に対して実数であることが判明し、得られるCFTのユニタリティを支持する。
• 4ループのβ関数を明示的に計算し、大N極限における固定点および臨界指数の構造を確認した。