[論文レビュー] Shadow price of information in discrete time stochastic optimization

Teemu Pennanen, Ari-Pekka Perkkiö|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、離散時間の確率的最適化における情報のシャドウプライス理論を、意思決定戦略の古典的有界性仮定を緩和することで拡張する。共役双対性と条件付き期待値を用いて、一般化された条件下でシャドウプライスの存在を確立し、従来の仮定が成り立たないファイナンス数学の応用において最適解が存在し、双対ギャップが消えることを証明する。主な貢献は、部分微分条件を介してシャドウプライスを特徴付ける双対動的プログラミング再帰である。

ABSTRACT

The shadow price of information has played a central role in stochastic optimization ever since its introduction by Rockafellar and Wets in the mid-seventies. This article studies the concept in an extended formulation of the problem and gives relaxed sufficient conditions for its existence. We allow for general adapted decision strategies, which enables one to establish the existence of solutions and the absence of a duality gap e.g. in various problems of financial mathematics where the usual boundedness assumptions fail. As applications, we calculate conjugates and subdifferentials of integral functionals and conditional expectations of normal integrands. We also give a dual form of the general dynamic programming recursion that characterizes shadow prices of information.

研究の動機と目的

• 離散時間の確率的最適化において、有界でない意思決定戦略を超えて、情報のシャドウプライス理論を拡張すること。
• 通常の被積分関数および意思決定空間に関する仮定を緩和した条件下で、シャドウプライスの存在に十分な条件を確立すること。
• 古典的有界性条件が成り立たないファイナンス最適化問題において、最適解を特徴付け、双対ギャップを解消すること。
• 部分微分法と条件付き期待値を用いて、動的プログラミング再帰の双対形を導出すること。
• 確率的設定における積分関数型および条件付き期待値の共役双対性と部分微分解析の一般枠組みを提供すること。

提案手法

• Fenchel-Youngの不等式を介した共役双対性フレームワークを用いて、プライマル問題と双対問題を関連付ける。
• L∞(Ω, F, P; Rn)における有界でない、適応的でない意思決定戦略を許容する、一般化された確率的最適化問題の定式化を導入する。
• 可測選択定理と条件付き期待値の射影を用いて、非予測可能な戦略を扱う。
• 双対問題を、v ∈N⊥ における Eh∗(v) の最小化として導出する。ここで N⊥ は適応的戦略の annihilator である。
• 最適性と部分微分条件の等価性を確立する：最適なプライマル・デュアル対について、a.s. で v ∈∂h(x) が成り立つ。
• 逐次的に条件付き期待値と部分微分包含を適用することで、双対動的プログラミング再帰を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界でない戦略を許容する離散時間確率的最適化において、情報のシャドウプライスがどの緩和された条件下で存在するか。
• RQ2 有界性仮定が成り立たないファイナンス最適化問題において、双対ギャップをどのように解消できるか。
• RQ3 条件付き期待値と部分勾配を用いて、一般動的プログラミング再帰の双対表現は何か。
• RQ4 共役双対性と部分微分法は、通常の被積分関数の積分関数型にどのように適用できるか。
• RQ5 条件付き期待値を含む再帰的双対形式によって、シャドウプライスを特徴付けられるか。

主な発見

• シャドウプライスが存在するのは、v ∈L1 が 0 における摂動関数 φ の部分勾配であるときであり、これは双対問題 inf_{v∈N⊥} Eh∗(v) の解が −φ(0) に達するときと同値である。
• 最適プライマル解 x ∈N が Eh(x) < ∞ を満たし、a.s. で v ∈∂h(x) であるとき、双対ギャップは消える。
• 双対動的プログラミング再帰は、すべての t について a.s. で Etvt ∈∂gt(xt) という条件によって特徴付けられ、Fenchelの不等式により最適性が保証される。
• 摂動関数の共役は φ∗(v) = Eh∗(v) + δN⊥(v) であり、ここで δN⊥ は適応的戦略の annihilator の指示関数である。
• 仮定1（条件付き期待値の閉包性）と仮定2（アフィン包の近似）が成り立つと、シャドウプライスの存在が保証される。これらは従来の有界性条件を一般化する。
• 本稿では、弱い可積分性および相対内部条件のもとで Eh が閉かつ適切であることを証明し、最適化問題の適切な定式化を保証する。