[論文レビュー] Shallow Circuits with High-Powered Inputs

Pascal Koiran|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、スパース係数をもつスパース多項式の積の和として表される一変数多項式に対する決定的ブラックボックス恒等的テストアルゴリズムが存在するならば、そのことが、恒等的テストのドメインを特定のクラスに制限した場合、パーマネントの算術回路複雑度に対する下界を示すことになる。具体的には、パーマネントがVP⁰に属さないことを示す。主な洞察は、この制限されたクラスにおける恒等的テストの確率的除去（derandomization）が、代数的複雑度理論における根本的な下界に結びつくことにある。

ABSTRACT

A polynomial identity testing algorithm must determine whether an input polynomial (given for instance by an arithmetic circuit) is identically equal to 0. In this paper, we show that a deterministic black-box identity testing algorithm for (high-degree) univariate polynomials would imply a lower bound on the arithmetic complexity of the permanent. The lower bounds that are known to follow from derandomization of (low-degree) multivariate identity testing are weaker. To obtain our lower bound it would be sufficient to derandomize identity testing for polynomials of a very specific norm: sums of products of sparse polynomials with sparse coefficients. This observation leads to new versions of the Shub-Smale tau-conjecture on integer roots of univariate polynomials. In particular, we show that a lower bound for the permanent would follow if one could give a good enough bound on the number of real roots of sums of products of sparse polynomials (Descartes' rule of signs gives such a bound for sparse polynomials and products thereof). In this third version of our paper we show that the same lower bound would follow even if one could only prove a slightly superpolynomial upper bound on the number of real roots. This is a consequence of a new result on reduction to depth 4 for arithmetic circuits which we establish in a companion paper. We also show that an even weaker bound on the number of real roots would suffice to obtain a lower bound on the size of depth 4 circuits computing the permanent.

研究の動機と目的

• 多項式の恒等的テストの確率的除去と代数的複雑度理論におけるパーマネントの下界との間の関係を確立すること。
• 特定のクラスの一変数多項式——係数がスパースなスパース多項式の積の和——に対するハッティング集合が存在するならば、パーマネントが定数を含まない多項式サイズの算術回路によって計算可能でないことを示すこと。
• 実根に関する新しい、より取り扱いやすいシャブ＝スメールのτ予想のバージョンを、このような多項式に焦点を当てて提唱すること。
• これらの多項式の実根の数に対する上界が、わずかに超多項式的であっても、強力な回路下界を導く可能性があるかを検討すること。
• スパース多項式の積の和である多項式に対する実τ予想を証明または反証する可能性を調査し、パーマネントの複雑度に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• パーマネントの下界を示す問題を、各f_{ij}がスパース係数をもつスパース多項式である形の多項式 ∑_{i=1}^m ∏_{j=1}^k f_{ij}(x) の実根の数を制限することに還元する。
• ブラックボックス恒等的テストとハッティング集合の構成の同値性を用いる：多項式族Fに対してハッティング集合Hが存在するならば、Hのすべての点で0にならない非ゼロf ∈ Fが存在する。
• VNP⁰におけるパーマネントの完全性の強化版を適用し、このような多項式が多すぎると実根の数が多すぎることで、代数的数生成子のような困難な族をシミュレートできてしまうと示す。
• 代数的数生成子f_i(x) = x - i を用い、g_n(x) = ∏_{i=1}^{2^n} (x - i) を構成することで、実根の数が超指数的でないという仮定の下で矛盾を導く。
• 特に少数項理論（fewnomial theory）を含む実代数的幾何の結果を活用し、スパースに似た多項式の実根の数を分析する。
• わずかに超多項式的な実根の数の上界（例：c < 1 に対して q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}}）が、深さ4の回路への還元を通じて、パーマネントがVP⁰に属さないことを示すのに十分であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スパース係数をもつスパース多項式の積の和である多項式に対する決定的ブラックボックス恒等的テストアルゴリズムが、パーマネントがVP⁰に属さないことを示す可能性があるか？
• RQ2 わずかに超多項式的な実根の数の上界（例：q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}} でc < 1）を証明できるか？その上界が回路下界を導くのに十分か？
• RQ3 k=2の場合でも、スパース多項式の積の和である多項式に対して実τ予想は成り立つか？
• RQ4 少数項理論のような実代数的幾何の道具を用いて、これらの構造的多項式の実根の数を制限できるか？
• RQ5 このような多項式の実根の数に対する最小の上界は何か？その上界がパーマネントの下界を示すのに十分か？

主な発見

• スパース係数をもつスパース多項式の積の和として表される一変数多項式に対する決定的ブラックボックス恒等的テストアルゴリズムが存在するならば、パーマネントはVP⁰に属さない。
• わずかに超多項式的な実根の数の上界——具体的には、c < 1 に対して q(s) ≤ 2^{(log s)^{1+c}} ——が、パーマネントがVP⁰に属さないことを示すのに十分である。
• q(s) = 2^{s^{o(1)}} の形の弱い上界が、このような多項式の実根の数に成り立つならば、パーマネントは多項式サイズの深さ4回路（整数定数が多項式サイズ）では計算不可能であることを示す。
• このような多項式が高々 q(kmt) 個の実根を持つという予想は、k=1の場合はデカルトの符号の法則により成り立つため、妥当である。
• 短い算術回路で計算可能で多くの実根を持つ既知の多項式（例：チェビシェフ多項式）は、スパース多項式の積の和のクラスに属さないため、このクラスは良好に振る舞う可能性がある。
• このクラスに対する実τ予想の反証は、多くの実根を持つスパースに似た多項式の新しい例をもたらすが、その予想の証明はパーマネントに対する強い下界を示すことになる。