[論文レビュー] Shape analysis on homogeneous spaces

Elena Celledoni|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Advanced Vision and Imaging参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ベクトル空間からリー群および同次空間へと、平方根速度変換（SRVT）を一般化し、曲がった対称空間におけるパラメータ化不変な形状解析を可能にする。主な貢献は、非ユークリッド幾何における形状解析の統一的枠組みを提供することであり、SRVTの有用性を球面や回転群などの複雑な形状空間へと拡張する。

ABSTRACT

Shape analysis is ubiquitous in problems of pattern and object recognition and has developed considerably in the last decade. The use of shapes is natural in applications where one wants to compare curves independently of their parametrisation. Shapes are in fact unparametrized curves, evolving on a vector space, on a Lie group or on a manifold. One popular approach to shape analysis is by the use of the Square Root Velocity Transform (SRVT). In this talk we propose a generalisation of the SRVT from vector spaces to Lie groups and to homogeneous manifolds. This is Joint work with S. Eidnes, A. Schmeding.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間を超えて、リー群や同次空間といった非ユークリッド幾何にまで平方根速度変換（SRVT）を拡張すること。
• 医療画像処理やコンピュータビジョンの応用において不可欠な、曲がった空間におけるパラメータ化不変な形状比較を可能にすること。
• 非平坦な対称多様体上でも、SRVTの優れた性質（等長性や測地線計算の簡略化）を保つ幾何学的枠組みを構築すること。
• 標準的なユークリッドSRVTが曲率や非可換構造のため失敗する、多様体上での形状解析の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• リー群のマウラー＝カルタン形式を用いて、標準的な速度ベクトルを右不変ベクトル場に置き換えることでSRVTを一般化する。
• 再パラメータ化群によるリー群上の曲線空間の商として形状空間を定義し、ユークリッドの場合と類似する。
• リー群の右不変リーマン構造を用いて形状空間に計量を構築し、形状空間の接空間と等長性を保証する。
• リー群上の指数写像と対数写像を用いて、形状の輸送と形状空間内での測地線の計算を実行する。
• 曲線を主 bundle に上げることで、同次空間上でのSRVTを導出する。
• 変換された空間が元の多様体のリーマン構造を継承することを保証し、形状距離や測地線の効率的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平方根速度変換（SRVT）をどのようにしてベクトル空間からリー群や同次空間へ一般化できるか？
• RQ2 リー群上でのどの幾何的構造が、古典的SRVTの等長性および簡略化性を保っているか？
• RQ3 リー群上での再パラメータ化不変形状空間は、標準的なユークリッド形状空間とどのように比較できるか？
• RQ4 マウラー＝カルタン形式は、リー群上での速度表現を定義するために果たす役割は何か？
• RQ5 SRVTフレームワークは、球面や回転群のような非ユークリッド的で対称的な空間へと拡張可能か？

主な発見

• 一般化されたSRVTは、リー群上の形状空間の接空間へ写像された際に、元の変換の等長性を保っている。
• リー群上での形状空間は、右不変計量から引き継いだリーマン構造を有しており、指数写像を用いた測地線計算が可能である。
• 変換により、対数写像によるリー代数への曲線の埋め込みによって、形状とパラメータ化が分離される。
• このフレームワークにより、SO(3) や球面のような曲がった多様体上でも一貫した形状比較が可能となり、標準的なSRVTでは失敗する。
• この手法により、計算解剖学の応用において不可欠な、同次空間上での形状距離の効率的計算と補間が可能である。