[論文レビュー] Shape and local growth for multidimensional branching random walks in random environment

Francis Comets, Serguei Popov|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、d次元格子上の確率的環境における多次元分岐ランダムウォークについて、極限定理を確立する。訪問されたサイトの集合がコンパクトかつ凸であることを示す形状定理を証明し、局所的個体数の増加率に凹関数としての成長指数を導出する。個体数および全粒子数の対数について大数の法則を確立し、環境のエルゴード的構造を含む変分公式によって成長率が支配されることを示す。

ABSTRACT

We study branching random walks in random environment on the $d$-dimensional square lattice, $d \\geq 1$. In this model, the environment has finite range dependence, and the population size cannot decrease. We prove limit theorems (laws of large numbers) for the set of lattice sites which are visited up to a large time as well as for the local size of the population. The limiting shape of this set is compact and convex, though the local size is given by a concave growth exponent. Also, we obtain the law of large numbers for the logarithm of the total number of particles in the process.

研究の動機と目的

• Z^d 上で有限範囲の相関をもつ確率的環境における分岐ランダムウォークの長期的挙動を解析すること。
• 訪問された格子点の集合の極限形状がコンパクトかつ凸であることを記述する形状定理を確立すること。
• 局所的個体数の法則大数の法則を導出し、それが凹関数型の成長指数に従って増加することを示すこと。
• 系内に存在する全粒子数の対数について大数の法則を証明すること。
• スペクトル的手法が適用できない非可逆的かつ非対称な確率的環境における個体数成長ダイナミクスの理解を拡張すること。

提案手法

• モデルは、各粒子が平均後代数 r(x) で分岐し、移動確率 p(x,·) に従って隣接点に移動する離散時間の分岐ランダムウォークであり、これらは確率的環境 ω に依存する。
• 進化は、離散的フェインマン＝ハースキー型方程式 u_{n+1} - u_n = r Δ^ω u_n + (r-1)u_n で支配され、初期条件 u_0(x) = 1_{x=z} を満たす。
• 解 u_n^z(x) は、初期位置 z から出発する粒子が時刻 n に位置 x に存在する期待個体数を表す。
• 環境にサブアディティブエルゴード定理を適用し、定常性および有限範囲の相関を活用して極限形状および成長指数を導出する。
• 分岐ランダムウォークの範囲および分岐率を制御するため、遺伝的木構造上に誘導される一様なランダムウォークとのカップリングを用いる。
• 大偏差推定および分岐率が増加する時刻の集合 Φ の構成を用いて、全個体数の指数的増加を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n → ∞ のとき、分岐ランダムウォークが時刻 n までに訪問したサイトの集合の極限形状は何か？
• RQ2 局所的個体数は空間的・時間的にどのように増加するか？ また、成長指数の関数的形は何か？
• RQ3 系内に存在する全粒子数の対数の漸近的挙動は何か？
• RQ4 確率的環境は、プロセスの非再帰性および再帰性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 環境のエルゴード的構造を含む変分公式によって、成長ダイナミクスを特徴づけられるか？

主な発見

• n → ∞ のとき、訪問されたサイトの集合は R^d 内でコンパクトかつ凸な集合に形状収束する。
• 局所的個体数は、u_n^z(x) ≈ exp{nβ((z−x)/n) + o(n)} (n → ∞) と、凹関数 β(v) に従って増加する。
• 全粒子数は大数の法則を満たす：(1/n) log Z_n^0 → β(0) 出版確率1で成立し、β は凹関数である。
• 成長指数 β(v) は、環境のエルゴード的性質を含む変分公式によって特徴づけられる。
• 全個体数は指数関数的に高速に増加する：高確率で E_ω[Z_n^0] ≥ C_3 2^{α_4 n} (α_4 > 0, C_3 > 0) を満たす。
• 環境の有限範囲の相関が成り立つ限り、結果は独立または i.i.d. の設定を超えて成立する。