[論文レビュー] Shape deformation analysis from the optimal control viewpoint

Sylvain Arguillère, Emmanuel Trélat+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2014

Medical Image Segmentation Techniques参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、形状変形解析を、再生核ヒルベルト空間（RKHS）内の時変ベクトル場によって生成される無限次元最適制御問題として定式化する。ポントリャーギン最大原理を適用することで、最適な微分同相写像を特徴付ける制約付き測地線方程式を導出し、医療画像や計算解剖学への応用を含め、制約付き形状マッチングのための統一的で数値的に効率的なフレームワークを実現する。

ABSTRACT

A crucial problem in shape deformation analysis is to determine a deformation of a given shape into another one, which is optimal for a certain cost. It has a number of applications in particular in medical imaging. In this article we provide a new general approach to shape deformation analysis, within the framework of optimal control theory, in which a deformation is represented as the flow of diffeomorphisms generated by time-dependent vector fields. Using reproducing kernel Hilbert spaces of vector fields, the general shape deformation analysis problem is specified as an infinite-dimensional optimal control problem with state and control constraints. In this problem, the states are diffeomorphisms and the controls are vector fields, both of them being subject to some constraints. The functional to be minimized is the sum of a first term defined as geometric norm of the control (kinetic energy of the deformation) and of a data attachment term providing a geometric distance to the target shape. This point of view has several advantages. First, it allows one to model general constrained shape analysis problems, which opens new issues in this field. Second, using an extension of the Pontryagin maximum principle, one can characterize the optimal solutions of the shape deformation problem in a very general way as the solutions of constrained geodesic equations. Finally, recasting general algorithms of optimal control into shape analysis yields new efficient numerical methods in shape deformation analysis. Overall, the optimal control point of view unifies and generalizes different theoretical and numerical approaches to shape deformation problems, and also allows us to design new approaches. The optimal control problems that result from this construction are infinite dimensional and involve some constraints, and thus are nonstandard. In this article we also provide a rigorous and complete analysis of the infinite-dimensional shape space problem with constraints and of its finite-dimensional approximations.

研究の動機と目的

• 最適制御理論を用いて、形状変形解析の一般的で数学的に厳密なフレームワークを構築すること。
• 従来あまり検討がなかった制約付き形状マッチング問題を、状態および制御の制約を伴う最適制御定式化に組み込むこと。
• 計算解剖学およびLDDMMにおける既存の手法を、単一の制御理論的構造に再定式化することで統一すること。
• 実用的な数値的実装を可能にするために、無限次元最適制御問題の有限次元近似を提供すること。
• 無限次元問題の理論的性質、特に存在性、正則性、近似の収束性を分析すること。

提案手法

• 形状変形を、再生核ヒルベルト空間（RKHS）内の時刻に依存するベクトル場によって生成される微分同相写像の流れとして表現する。
• 形状変形問題を、状態（微分同相写像）および制御（ベクトル場）の制約を伴う無限次元最適制御問題としてモデル化する。
• コスト関数を、ベクトル場のRKHSノルム（運動エネルギー）と、ターゲット形状からのずれを測るデータ適合項の和として定義する。
• 拡張されたポントリャーギン最大原理を適用し、一次の最適性条件を導出し、形状空間における制約付き測地線方程式に至る。
• 径数基底関数とガラーキン型離散化を用いた有限次元近似により、最適制御問題の数値的解法を可能にする。
• 制約付き最適化問題の解法に増強ラグランジュ法を採用し、アドジョイント系から勾配を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付き形状変形問題は、どのように最適制御フレームワーク内で体系的に定式化できるか？
• RQ2 変形フローに制約が課された場合、最適形状変形のための必要十分条件は何か？
• RQ3 無限次元最適制御問題を、収束性を保ちつつ有限次元に厳密に近似するにはどうすればよいか？
• RQ4 RKHSベクトル場から誘導される部分リーマン構造の下で、得られる形状空間の幾何学的・位相的性質は何か？
• RQ5 例えばステッチ型とスライディング型の異なる制約タイプが、複数形状マッチングにおける変形の正則性と精度にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 最適制御定式化により、制約付きおよびマルチ形状マッチングを含むさまざまな形状変形問題が統一的に取り扱える。
• 拡張されたポントリャーギン最大原理の適用により、形状空間における最適変形を特徴付ける制約付き測地線方程式の系が得られる。
• 数値実験では、滑らかで物理的に妥当な変形が得られ、境界連続性が緩和されたスライディング制約の方が、ステッチ制約よりもより正則な結果をもたらすことが示された。
• 無限次元問題の有限次元近似は、適切な条件下で収束し、背景領域および形状領域におけるカーネル幅が変形の正則性に顕著に影響することが分かった。
• 本手法は、三角形メeshで表される高次元形状へ一般化可能であり、筋肉様変形をモデル化する二次元制御系への拡張も可能である。
• 本フレームワークは、無限次元制御理論における新たな課題を明らかにした。特に、水平空間の非閉包性や制約写像の全射性の欠如といった問題は、今後の研究において未解決のまま残っている。