[論文レビュー] Shape derivatives of boundary integral operators in electromagnetic scattering

Martin Costabel, Frédérique Le Louër|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2010

Numerical methods in inverse problems参考文献 29被引用数 10

ひとこと要約

本稿は境界積分方程式を用いて、電磁散乱解の形状微分可能性を確立し、障害物境界から離れた領域では解が無限回形状微分可能であることを証明する。境界上では微分の正則性が損なわれる。1次形状微分は、境界条件が変更された新しい散乱問題の解として特徴付けられ、積分方程式法を用いた勾配に基づく形状最適化が可能になる。

ABSTRACT

We develop the shape derivative analysis of solutions to the problem of scattering of time-harmonic electromagnetic waves by a bounded penetrable obstacle. Since boundary integral equations are a classical tool to solve electromagnetic scattering problems, we study the shape differentiability properties of the standard electromagnetic boundary integral operators. Using Helmholtz decomposition, we can base their analysis on the study of scalar integral operators in standard Sobolev spaces, but we then have to study the Gâteaux differentiability of surface differential operators. We prove that the electromagnetic boundary integral operators are infinitely differentiable without loss of regularity and that the solutions of the scattering problem are infinitely shape differentiable away from the boundary of the obstacle, whereas their derivatives lose regularity on the boundary. We also give a characterization of the first shape derivative as a solution of a new electromagnetic scattering problem.

研究の動機と目的

• 時間調和的電磁散乱における透光性障害物による解の形状微分可能性を分析すること。
• エネルギー空間 $\boldsymbol{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mathsf{H}}^{-\frac{1}{2}}(\operatorname{div}_{\Gamma},\Gamma)$ 上の接ベクトル場に作用する電磁境界積分作用素のゲートックス微分可能性を確立すること。
• 1次形状微分を、境界条件が変更された新しい電磁散乱問題の解として特徴付けること。
• 明示的な微分表現を提供することで、レーダーやアンテナ設計などの応用分野における勾配に基づく形状最適化を可能にすること。

提案手法

• 空間 $\boldsymbol{\mathsf{T}}\boldsymbol{\mathsf{H}}^{-\frac{1}{2}}(\operatorname{div}_{\Gamma},\Gamma)$ を勾配成分と回転成分に分解するヘルムホルツ分解の使用により、スカラー積分作用素への還元を図り、解析を簡略化する。
• 標準ソボレフ空間における擬似同次核のゲートックス微分可能性の解析により、音響的状況から電磁的状況への結果の拡張を行う。
• 境界の $\mathscr{C}^1$ 変形下での表面微分作用素（例：$\nabla_\Gamma$, $\operatorname{curl}_\Gamma$）の挙動を研究する。
• コンmutator恒等式と表面ベクトル計算を用いて、電場および磁場の1次形状微分の明示的表現を導出する。
• 変更された伝送条件を用いて、その解が1次形状微分に等しい新しい境界値問題の構築を行う。
• 積分表現と逆作用素を活用し、解写像を通じて微分可能性を伝搬させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害物境界の $\mathscr{C}^k$ 変形に関して、電磁境界積分作用素は無限回形状微分可能であり、正則性の損失がないか？
• RQ2 誘電体散乱問題の解は内部で無限回微分可能であるが、境界付近で正則性が低下するか？
• RQ3 電磁場の1次形状微分は、境界条件が変更された新しい散乱問題の解として特徴付けられるか？
• RQ4 表面微分作用素 $\nabla_\Gamma$ や $\operatorname{curl}_\Gamma$ は、領域変形に関してゲートックス微分をとった際にどのように振る舞うか？
• RQ5 積分作用素のゲートックス微分可能性を保つために必要な境界変形の最適な正則性は何か？

主な発見

• 電磁境界積分作用素は、領域の内部では正則性の損失なしに無限回形状微分可能である。
• 散乱問題の解は内部で無限回形状微分可能であるが、境界 $\Gamma$ 上では微分の正則性が損なわれる。
• 電磁場の1次形状微分は、変形ベクトル場の表面微分を含む、境界条件が変更された新しい散乱問題の解として特徴付けられる。
• 電場の形状微分は、$\nabla_\Gamma\xi$ と $\boldsymbol{\mathsf{n}}\times\partial_\mathbf{n}(\boldsymbol{\mathsf{E}}^i - \boldsymbol{\mathsf{E}}^s)$ を含む源項を持つマクスウェル方程式系を満たす。
• $\mathscr{C}^1$ 変形に対しても、境界積分作用素のゲートックス微分は正しく定義されるが、高階微分には完全な $\mathscr{C}^2$ 正則性が必要である。
• ヘルムホルツ分解により、ベクトル値問題をスカラー作用素に還元でき、ソボレフ空間における微分可能性の体系的解析が可能になる。