[論文レビュー] Shape optimization to decrease failure probability

Matthias Bolten, Hanno Gottschalk+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Topology Optimization in Engineering参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Weibull分布を確率的強度モデルとして用い、セラミック部材の破壊確率を最小化する勾配ベースの形状最適化フレームワークを提示する。破壊確率をPDE制約付きの目的関数として定式化し、有限要素メッシュ上でアドジョイント法を用いて形状勾配を計算することで、人工的なスムージングを用いずに安定した収束が達成され、湾曲梁とS字ジョイントの例で数値実験により破壊確率が顕著に低減された。

ABSTRACT

Ceramic is a material frequently used in industry because of its favorable properties. Common approaches in shape optimization for ceramic structures aim to minimize the tensile stress acting on the component, as it is the main driver for failure. In contrast to this, we follow a more natural approach by minimizing the component's probability of failure under a given tensile load. Since the fundamental work of Weibull, the probabilistic description of the strength of ceramics is standard and has been widely applied. Here, for the first time, the resulting failure probabilities are used as objective functions in PDE constrained shape optimization. To minimize the probability of failure, we choose a gradient based method combined with a first discretize then optimize approach. For discretization finite elements are used. Using the Lagrangian formalism, the shape gradient via the adjoint equation is calculated at low computational cost. The implementation is verified by comparison of it with a finite difference method applied to a minimal 2d example. Furthermore, we construct shape flows towards an optimal / improved shape in the case of a simple beam and a bended joint.

研究の動機と目的

• 破壊のピーク応力基準に依存せず、セラミック部材の破壊確率を直接最小化する形状最適化手法を開発すること。
• 特にWeibullモデルを含む確率的破壊力学を、形状最適化における目的関数として組み込むこと。
• 有限要素法を用いた「まず離散化してから最適化する」アプローチにより、破壊確率に対する勾配ベースの最適化を可能にすること。
• 有限差分法との比較を用いて、計算された形状勾配の正確さを検証すること。
• 体積制約下で、直線化された梁や最適化されたSジョイントのような改善された形状への収束を示すこと。

提案手法

• 破壊確率はWeibull分布を用いてモデル化され、スケールパラメータは部材の幾何形状と荷重に依存し、形状パラメータ（Weibullモジュラス）は材料固有のものである。
• 目的関数は、与えられた引張荷重下での破壊確率であり、線形破壊力学と初期きずの点過程モデルに基づいて導出される。
• 有限要素法を用いて線形弾性PDEを離散化し、多角形メッシュ上で変位と応力を計算する。
• 形状勾配はアドジョイント法により計算され、境界の変化に関する破壊確率の微分を効率的に算出可能となる。
• 体積制約は、体積勾配の零空間上への形状勾配の射影により満たされ、最適化中に体積が一定に保たれる。
• 境界ノードを形状勾配に従って更新することで幾何的フローを生成し、メッシュの品質を維持するために反復的にメッシュ変形を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配ベースの形状最適化フレームワークを用いて、セラミック部材の破壊確率を効果的に最小化できるか？
• RQ2 離散的有限要素メッシュ上でアドジョイント法を用いて、破壊確率の形状勾配をどれほど正確に計算できるか？
• RQ3 特に直感的でない最適形状を有する場合でも、人工的なスムージングを用いずに最適化プロセスが収束するか？
• RQ4 最適化プロセス中に破壊確率はどのように変化するか？顕著な低減が達成可能か？
• RQ5 滑らかでない、または再entrantな幾何形状に対して、最適化の収束性と安定性を保証するための数学的・数値的課題は何か？

主な発見

• 体積制約下で、湾曲梁の破壊確率は、解析的に予想される最適形状（直線棒）に収束するよう、最適化アルゴリズムが成功した。
• S字ジョイントに対しては、安定した幾何的フローが得られ、明確な最適形状が存在しない中でも破壊確率が顕著に低減された。
• アドジョイント法による計算された形状勾配は、最小限の2次元例において有限差分法と比較することで高い数値的精度を示した。
• 人工的なスムージングを要せず、大規模な幾何的変形に対しても最適化プロセスは安定的かつ収束的であった。
• 反復ごとの破壊確率分布の可視化から、破壊リスクの低下に向けて一貫的かつ単調に改善が見られた。
• 本手法は、ピーク応力基準の微分不能性という問題を克服し、確率的機械的整合性を形状最適化の直接的目的関数として用いる可能性を示した。