[論文レビュー] Shaping tail dependencies by nesting box copulas

Christoph Hummel|ArXiv.org|Jun 26, 2009

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 8被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の次元で、ユニットキューブ内の局所的区分的均一なコピュラとしてのテールネスティングコピュラを導入する。この手法により、すべての面への投影におけるテール依存性を柔軟かつ同時に制御可能となり、効率的なシミュレーションが可能となる。リスクモデリングにおいて、階層的構成に基づく面固有のパラメータを用いて、任意のテール依存度と係数を指定できる。

ABSTRACT

We introduce a family of copulas which are locally piecewise uniform in the interior of the unit cube of any given dimension. Within that family, the simultaneous control of tail dependencies of all projections to faces of the cube is possible and we give an efficient sampling algorithm. The combination of these two properties may be appealing to risk modellers.

研究の動機と目的

• リスクモデリングにおける高次元コピュラの効率的シミュレーションアルゴリズムの欠如に応える。
• 標準的なコピュラがパrameterを対象的依存性に束縛し、テール行動の制御を制限するという制限を克服する。
• ユニットキューブのすべての低次元投影（面）におけるテール依存度と係数の独立指定を可能にする。
• 任意のテール依存構造を支持しながら、サンプリングにおける計算効率を維持する構成を開発する。
• 任意の次元 r に適用可能な一般枠組みを提供し、金融および保険リスクモデリングに直接関連する。

提案手法

• ユニットキューブの二進分割上に一様測度をネストする「テールネスティング」と呼ばれる構成を提案し、局所的区分的均一性を保証する。
• 原点付近の確率質量の漸近的スケーリングを用いて、テール度とテール係数を定義し、$ \liminf_{s\to 0} \frac{c(s\cdot[0,1]^r)}{s^{\tau}} $ の形の極限を用いる。
• 各面 $ F \subset [0,1]^r $ に対して、面固有の写像 $ a(F) $（テール係数）と $ b(F) $（テール度）を用いてテール行動をパrameter化する。
• 任意の面 $ F $ への投影が所望のテール特性 $ (a(F), b(F)) $ を与えるようなコピュラ測度 $ c $ を構成し、$ b $ の単調性に関する条件を課す。
• $ k $ 次のコピュラへの一般化を実施し、$ k $ 次元の面への投影が一様になるようにする。
• 区分的均一構造を活用した再帰的分割と頂点ベースのサンプリングに基づく、効率的なシミュレーションアルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての面への投影におけるテール依存性を独立的かつ柔軟に制御できるコピュラ族を構築することは可能か？
• RQ2 任意のテール依存度と係数を許容しつつ、高次元で効率的なシミュレーションが可能なコピュラを設計することは可能か？
• RQ3 テール特性写像 $ a(F) $ および $ b(F) $ にどのような条件を課すと、その性質を持つ有効なコピュラ測度が存在するか？
• RQ4 標準的なコピュラ族を超えて、多次元確率変数の漸近的テール行動をどのように制御できるか？
• RQ5 一様マージンを超えた一般分布へ、適切な変換を用いてこの構成を拡張することは可能か？

主な発見

• 任意の次元 $ r $ に対して、$ b $ が非減少であり、かつ $ a(F), b(F) \in (1,\infty) $ で $ (a(F), b(F)) = (1, \dim F) $ が $ \dim F \leq 1 $ の場合に、テール特性 $ \operatorname{tchar}_c = (a,b) $ を持つコピュラ測度 $ c $ が存在する。
• もし $ b $ が厳密に増加している場合、テールネスティングを用いてそのようなコピュラを明示的に構成可能であり、$ (0,1)^r $ における局所的区分的均一性を保証する。
• 再帰的分割と頂点ベースのサンプリングを活用した効率的なシミュレーションが可能であり、独立サンプルの高速生成が実現される。
• テール特性は一様マージンに限らず、確率積分変換を用いることで一般の連続的マージン分布に対しても指定可能である。
• パレート分布に従う変数 $ X_i \sim F_i(s) = (-s)^{-\alpha_i} $ に対して、同時テール確率 $ P(X_i \leq -(-t)^n \text{ for } \nu_i = 0) $ は漸近的に $ a(\nu) \cdot (-t)^{-n b(\nu)} $ のようにスケーリングされ、ここで $ a(\nu) $ と $ b(\nu) $ はユーザーが定義可能である。
• もし $ b $ が増加でない場合、特に面包含階層とテール行動の非退化性を保証するための $ b $ および $ a $ に関する必要条件が導出される。