[論文レビュー] Shapley effects for sensitivity analysis with correlated inputs: comparisons with Sobol' indices, numerical estimation and applications

Bertrand Iooss, Clémentine Prieur|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 44被引用数 108

ひとこと要約

この論文は、相関入力を考慮したグローバル感度分析のシャプレー効果を分析し、それらをソボル指標と比較し、Gaussian-linear設定で解析的結果を導出し、メタモデルを用いた推定を実証する。

ABSTRACT

The global sensitivity analysis of a numerical model aims to quantify, by\nmeans of sensitivity indices estimate, the contributions of each uncertain\ninput variable to the model output uncertainty. The so-called Sobol' indices,\nwhich are based on the functional variance analysis, present a difficult\ninterpretation in the presence of statistical dependence between inputs. The\nShapley effect was recently introduced to overcome this problem as they\nallocate the mutual contribution (due to correlation and interaction) of a\ngroup of inputs to each individual input within the group.In this paper, using\nseveral new analytical results, we study the effects of linear correlation\nbetween some Gaussian input variables on Shapley effects, and compare these\neffects to classical first-order and total Sobol' indices.This illustrates the\ninterest, in terms of sensitivity analysis setting and interpretation, of the\nShapley effects in the case of dependent inputs. For the practical issue of\ncomputationally demanding computer models, we show that the substitution of the\noriginal model by a metamodel (here, kriging) makes it possible to estimate\nthese indices with precision at a reasonable computational cost.\n

研究の動機と目的

• グローバル感度分析における入力間の依存性に対処するために Shapley 効果の利用を動機づける。
• Gaussian-linear および低次元の相関設定における Shapley 効果の解析的結果を導出する。
• 入力依存下で Shapley 効果を1次 Sobol’ 指標および総 Sobol’ 指標と比較する。
• Shapley 効果の実用的推定のためのメタモデルベースのアルゴリズムを提案・評価する。
• 依存入力に適用可能な感度分析設定（FP, FF, VC, FM）を議論する。

提案手法

• Sobol’ 指標とそれらの依存入力拡張（全体版と独立版）を定義する。
• Shapley 効果を、c(u) = Var(E[Y|X_u])/Var(Y) を用い Sobol’-ベースの連合体から導かれる正規化された公正な割り当てとして提示する。
• 相関下で Shapley 効果と S_i および S_Ti を比較するため、2変数または3変数の Gaussian-linear モデルの解析的形を分析する。
• 相関のある2変数の場合に、Shapley 効果が full first-order 指標と independent total 指標の間に位置する（sandwich 効果）ことを示す。
• Shapley 効果の推定アルゴリズムを2つ紹介する：Exact permutation および Random permutation（後者は高次元に適している）。
• 実用的なモデルで計算コストを削減するためのメタモデルベースの推定（例：kriging）を議論する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相関があるとき Shapley 効果はどう振る舞い、依存性の下で Sobol’ 指標とどのように関連するか？
• RQ2 Gaussian-linear設定において Shapley 効果の解析的表現を導出でき、相関下での解釈を照らし出せるか？
• RQ3 Shapley 効果の推定戦略で、特に高コストなモデルに対してどの戦略が効果的で、メタモデルが精度とコストにどう影響するか？
• RQ4 入力依存性がある場合、どの感度分析設定（FP, FF, VC, FM）で Shapley 効果が明確な指針を提供するか？
• RQ5 Sobol’ 指標が依存性のために解釈が難しい場合、Shapley 効果は変数重要性の解釈に利点を提供するか？

主な発見

• Shapley 効果は、相関入力があっても非負で分散公正な割り当てを提供し、総和が1になる。
• 2つの Gaussian 入力では、Shapley 効果は full first-order 指標と independent total 指標の間に位置し（sandwich 効果）、相関がない場合には Sobol’ 指標と等しくなることがある。
• 重要でない結果として、Shapley 割り当てが、影響力のある入力と相関がある場合に、モデルに現れない入力にも非ゼロの重要性を割り当て得ることを示す。
• 3変数 Gaussian 入力の場合も、Shapley 効果は相関下で対応する Sobol’ 指標の間に位置し、sandwich 特性を満たし、相関効果は相関する入力間で分布する。
• 依存性下で Shapley 効果は意味のある FF の解釈を達成でき、Sobol’ 指標だけでは固定入力の影響を誤って表す場合がある。
• メタモデルアプローチ（例：kriging）は Shapley 効果の推定を高精度に、計算コストを削減して可能にする。