[論文レビュー] Shapley Values in Weighted Voting Games with Random Weights

Yuval Filmus, Joel Oren+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、指数的減衰分布から独立同分布に従って抽出されたランダムな重みを有する重み付き投票ゲームにおけるシャープレイ値の分析のための確率的枠組みを提案する。シャープレイ値の計算を再生過程としてモデル化することで、割当額の期待値としての最高および最低シャープレイ値の閉形式表現を、指数的減衰項を伴って導出する。シミュレーションを通じて一様分布および指数分布の両方で検証されている。

ABSTRACT

We investigate the distribution of the well-studied Shapley--Shubik values in weighted voting games where the agents are stochastically determined. The Shapley--Shubik value measures the voting power of an agent, in typical collective decision making systems. While easy to estimate empirically given the parameters of a weighted voting game, the Shapley values are notoriously hard to reason about analytically. We propose a probabilistic approach in which the agent weights are drawn i.i.d. from some known exponentially decaying distribution. We provide a general closed-form characterization of the highest and lowest expected Shapley values in such a game, as a function of the parameters of the underlying distribution. To do so, we give a novel reinterpretation of the stochastic process that generates the Shapley variables as a renewal process. We demonstrate the use of our results on the uniform and exponential distributions. Furthermore, we show the strength of our theoretical predictions on several synthetic datasets.

研究の動機と目的

• エージェントの重みが確率的に決定される場合の重み付き投票ゲームにおけるシャープレイ値の分布を理解すること。
• 任意のパrameter設定下でのシャープレイ値の解析的非可解性に対処するため、独立同分布の重みを有する確率的モデルを導入すること。
• 基礎的な重み分布および割当額に基づいて、期待される最高および最低シャープレイ値を特徴づけること。
• 理論的分析のため、シャープレイ値計算と再生理論の間の新しい関係を確立すること。
• 一様分布および指数分布に従う合成データ上で理論的予測を実証的に検証すること。

提案手法

• 連続的かつ指数的減衰する分布からの独立同分布の抽出としてエージェントの重みをモデル化する。
• シャープレイ値を生成する確率的過程を再生過程として再解釈することで、解析的取り扱いの可能性を高める。
• 複素解析およびラプラス変換技術を用いて、期待シャープレイ値の漸近展開を導出する。
• 留数計算を用いて、シャープレイ値の漸近展開における主要項を計算する。
• 重み分布のモーメント生成関数の推定値を用いて誤差項を評価する。
• 一様分布および指数分布に従う合成データセット上で、理論的結果を実証的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 独立同分布に従う指数的減衰重みと与えられた割当額を持つ重み付き投票ゲームにおいて、最高シャープレイ値の期待値は何か？
• RQ2 同じ条件下で、最低シャープレイ値の期待値は何か？
• RQ3 重みがランダムに抽出される場合、エージェント数および割当額の関数として、期待シャープレイ値はどのようにスケーリングするか？
• RQ4 重みが確率的に決定される条件下で、シャープレイ値の漸近的挙動を閉形式で特徴づけられるか？
• RQ5 異なる重み分布において、理論的予測と実験的シミュレーションの間の一致度はどの程度か？

主な発見

• 期待される最高および最低シャープレイ値はエージェント数に線形に比例し、その極限値は割当額および重み分布のパrameterに依存する閉形式表現で特徴づけられる。
• エージェント数が非常に多い場合、最も強く・最も弱いエージェントの期待シャープレイ値は、割当額および重み分布の平均および2次のモーメントにのみ依存する極限値に収束する。
• 誤差項が指数的減衰を示すより正確な漸近的公式が、シャープレイ値について導出されており、単純な近似よりも改善されている。
• 一様分布および指数分布に従う合成データセットを用いた実証的シミュレーションにより、理論的予測が強く一致していることが確認された。
• 再生理論との関連付けにより、確率的重みモデルにおけるシャープレイ値分布の精密な漸近的解析が可能になった。
• 結果は異なる指数的減衰分布に対して頑健であり、区分的微分可能かつ単調性を満たす任意の分布に適用可能である。