[論文レビュー] Shared Memory Concurrent System Verification using Kronecker Algebra

Robert Mittermayr, Johann Blieberger|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2011

Formal Methods in Verification参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、スパースな隣接行列を用いたKronecker代数を用いてスレッドのインタリーブと同期をモデル化することで、共有メモリ型並行システムの検証のための新規フレームワークを提案する。遅延評価戦略を採用することで、並行プログラムグラフ（CPG）の到達可能な部分のみを効率的に計算でき、任意のスレッド数を持つp-v-symmetricプログラムのデッドロック自由性の形式的証明とスケーラブルな解析を可能にする。

ABSTRACT

The verification of multithreaded software is still a challenge. This comes mainly from the fact that the number of thread interleavings grows exponentially in the number of threads. The idea that thread interleavings can be studied with a matrix calculus is a novel approach in this research area. Our sparse matrix representations of the program are manipulated using a lazy implementation of Kronecker algebra. One goal is the generation of a data structure called Concurrent Program Graph (CPG) which describes all possible interleavings and incorporates synchronization while preserving completeness. We prove that CPGs in general can be represented by sparse adjacency matrices. Thus the number of entries in the matrices is linear in their number of lines. Hence efficient algorithms can be applied to CPGs. In addition, due to synchronization only very small parts of the resulting matrix are actually needed, whereas the rest is unreachable in terms of automata. Thanks to the lazy implementation of the matrix operations the unreachable parts are never calculated. This speeds up processing significantly and shows that this approach is very promising. Various applications including data flow analysis can be performed on CPGs. Furthermore, the structure of the matrices can be used to prove properties of the underlying program for an arbitrary number of threads. For example, deadlock freedom is proved for a large class of programs.

研究の動機と目的

• スレッドのインタリーブの指数的増加に起因するマルチスレッドプログラム検証における状態爆発問題に対処すること。
• 同期を組み込み、プログラム解析を可能にする共有メモリ型並行システムの形式的モデルを開発すること。
• 代数的構造を用いて、任意のスレッド数に対する安全特性（特にデッドロック自由性）の検証を可能にすること。
• 並行システムにおける全状態空間の明示的構築が計算的に非現実的であることを踏まえた最適化を設計すること。
• 得られた並行プログラムグラフ（CPG）上でデータフロー解析とモデルチェックを適用する基盤を確立すること。

提案手法

• 制御フローダイアグラム（CFG）を用いてスレッドとセマフォをモデル化し、複数変数のメモリアクセスにはエッジ分割を適用する。
• ラベル付き隣接行列として精緻化されたCFGを、ラベルがプログラム動作と同期を符号化する半環上に表現する。
• 独立したスレッドのインタリーブをモデル化するためにKronecker和を、同期制約をモデル化するためにKronecker積を用いる。
• 行列演算に対して遅延評価戦略を適用し、全状態空間の明示的構築を避けて到達可能な状態のみを計算する。
• 共有変数にアクセスしないエッジを削除することでCPGを最適化し、低同期状態での構造的ボトルネックを軽減する。
• スパース行列構造を活用して効率的な静的解析を実現し、p-v-symmetricプログラムのデッドロック自由性などの特性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kronecker代数は、共有メモリ型並行プログラムにおけるすべての可能なスレッドインタリーブを完全に保持しながら効果的にモデル化できるか？
• RQ2 代数的構造と遅延計算を用いることで、マルチスレッド検証における状態爆発問題をどのように軽減できるか？
• RQ3 並行プログラムグラフ（CPG）のスパース構造をどの程度活用して、効率的な解析と検証を可能にできるか？
• RQ4 本フレームワークを用いて、任意のスレッド数に対する安全特性（例：デッドロック自由性）の形式的証明が可能か？
• RQ5 提案された遅延行列計算戦略の性能は、スレッド数やプログラムの複雑さの増加に伴いどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 並行プログラムグラフ（CPG）はスパースな隣接行列として表現可能であり、行数に比例するエントリ数を持つため、計算が効率的に行える。
• 高同期プログラムではCPGの到達可能な部分がわずかに抑えられ、遅延行列実装はこの部分のみを計算するため、実行時間の大幅な削減が達成される。
• 32台のクライアントを持つクライアント・サーバー例では理論的な行列サイズが$10^{15}$に達するが、遅延アプローチはわずか0.43秒で結果を算出できた。
• 本アプローチの実行時間の複雑度は理論的行列サイズではなく、CPGに存在するノード数に比例しており、強力なスケーラビリティを示している。
• 行列の次数$o(P)$と実行時間の相関は弱い（相関係数0.237）一方で、ノード数と実行時間の相関は強い（0.999）ため、ノードベースの計算モデルの効率性が裏付けられた。
• Kroneckerに基づくCPG表現の構造的性質を活用して、p-v-symmetricプログラムのデッドロック自由性が成功裏に証明された。