[論文レビュー] Shared purity and concurrence of a mixture of ground and low-lying excited states as indicators of quantum phase transitions

George Biswas, Anindya Biswas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2022

Quantum many-body systems参考文献 45被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、断ち切られたスピン模型における量子相転移の指標としての共有純度とconcurrenceの有効性を検討し、エンタングルメントに基づくconcurrenceとは異なり、共有純度は2次元 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型において複数の相転移を効果的に検出できることを示している。また、1次元奇数・偶数スピン鎖では、有限サイズスケーリング指数に顕著な差が見られ、トポロジカル効果や境界効果の可能性を示唆している。

ABSTRACT

We investigate the efficacy of shared purity, a measure of quantum correlation that is independent of the separability-entanglement paradigm, as a quantum phase transition indicator in comparison with concurrence, a bipartite entanglement measure. The order parameters are investigated for thermal states, pseudo-thermal states and more, of the systems considered. In the case of the one-dimensional $J_1-J_2$ Heisenberg quantum spin model and the one-dimensional transverse-field quantum Ising model, shared purity turns out to be as effective as concurrence in indicating quantum phase transitions. In the two-dimensional $J_1-J_2$ Heisenberg quantum spin model, shared purity indicates the two quantum phase transitions present in the model, while concurrence detects only one of them. Moreover, we find diverging finite-size scaling exponents for the order parameters near the transitions in odd- and even-sized systems governed by the one-dimensional \(J_1-J_2\) model, as had previously been reported for quantum spins on odd- and even-legged ladders. It is plausible that the divergence is related to a M{ö}bius strip-like boundary condition required for odd-sized systems, while for even-sized systems, the usual periodic boundary condition is sufficient.

研究の動機と目的

• エンタングルメント・分離可能性の枠組みに依存しない量子相関測度である共有純度を、断ち切られたスピン系における量子相転移の指標として評価すること。
• 標準的なエンタングルメント測度であるconcurrenceと比較して、$J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型および横磁場イジング模型における量子相転移検出の有効性を検証すること。
• スピンラダーにおけるスケーリング指数の発散が報告されたのを受けて、奇数・偶数スピン鎖における秩序パラメータの有限サイズスケーリング挙動を調査すること。
• 熱状態や擬似熱状態、あるいは基底状態と低エネルギー励起状態の混合状態が、量子臨界点の検出において、どの程度有効であるかを特定すること。

提案手法

• 共有純度は、密度行列の最大固有値（グローバルなフィデリティ）と、$10^6$ 個のハール一様乱数純粋状態の最適化により得られる局所的フィデリティとの差として計算される。
• concurrenceは、スピンペアの縮約密度行列に対して標準的な2キュービット式を用いて計算され、エンタングルメントに基づく検出のベンチマークとして用いられる。
• 熱状態および擬似熱状態は、エネルギー固有状態から構築され、特に基底状態と第一励起状態の混合、および低エネルギー状態の指数的減少確率混合に注目する。
• 有限サイズスケーリング指数は、臨界点付近の共有純度データに3次多項式をフィットし、その導関数の極値を分析することで抽出される。
• 局所的フィデリティの最適化は、$10^6$ 個の独立したハール一様乱数積状態のサンプリングにより、収束性の妥当性を検証している。
• 臨界点は、秩序パラメータの曲率変化または不連続性を基に特定され、転移点の特定には多項式フィットの導関数が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 concurrenceが2つの相転移のうち1つを検出できないにもかかわらず、共有純度は2次元 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型で量子相転移を検出できるか？
• RQ2 奇数・偶数スピンの1次元 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ鎖では、共有純度とconcurrenceの有限サイズスケーリング指数に差が生じるか？その原因は何か？
• RQ3 共有純度およびconcurrenceを用いた量子相転移検出において、熱状態と基底状態・低エネルギー励起状態の混合状態のどちらがより効果的か？
• RQ4 横磁場イジング模型には次近位相互作用がないため、奇数・偶数スピン鎖におけるスケーリング挙動が対称的になるのか？$J_1$-$J_2$ モデルとは対照的であるか？
• RQ5 共有純度は、多体系における量子臨界定常状態の探査において、エンタングルメントに基づく測度の強固な代替手段として機能できるか？

主な発見

• 共有純度は、2次元 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型における、クラムプドイマー秩序から共線的ネール秩序への量子相転移を成功裏に検出できるが、concurrenceは2つの相転移のうち1つしか検出できない。
• 2次元モデルにおける2番目の相転移の臨界点は、共有純度データに3次多項式フィットを施した導関数を用いて、$ar{ ho}_c^{(2)} \to 0.6254$ と推定された。
• 1次元 $J_1$-$J_2$ ハイゼンベルグ模型では、奇数スピン鎖と偶数スピン鎖で共有純度の有限サイズスケーリング指数が発散する差を示し、奇数系にモビウス的境界条件に類似したトポロジカル効果の可能性を示唆している。
• 1次元横磁場イジング模型では、共有純度とconcurrenceの両方が量子相転移を検出できるが、共有純度はより高い有限サイズスケーリング指数を示し、感度が優れていることが示された。
• 1次元 $J_1$-$J_2$ モデルでは、熱状態は量子相転移を明確に検出できないが、基底状態と第一励起状態のみからなる擬似熱状態は、臨界点を成功裏に特定できた。
• 低エネルギー固有状態に指数的減少確率を割り当てた混合状態も、量子相転移の検出に成功しており、共有純度が混合状態状況下でも頑健であることを確認した。