[論文レビュー] Sharp Adams type inequalities in Sobolev spaces $W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^{n})$ for arbitrary integer $m$

Nguyen Lam, Guozhen Lu|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2011

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の整数 $m < n$ に対して、Sobolev 空間 $W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)$ における鋭い Adams 型不等式を、非有界領域で確立する。従来の結果は偶数 $m$ または有界領域に限られていたが、本稿はその範囲を拡張する。径数再配分、比較原理、および精密なノルム推定を用いて、指数積分が一様に有界であることを示し、テスト列を用いて鋭さが確認される鋭い定数 $\beta(n,m)$ の存在を証明する。

ABSTRACT

The main purpose of our paper is to prove sharp Adams-type inequalities in unbounded domains of $\mathbb{R}^{n}$ for the Sobolev space $W^{m,\frac{n}{m}}\left(\mathbb{R} ^{n} ight)$ for any positive integer $m$ less than $n$. Our results complement those of Ruf and Sani \cite{RS} where such inequalities are only established for even integer $m$. Our inequalities are also a generalization of the Adams-type inequalities in the special case $n=2m=4$ proved in \cite{Y} and stronger than those in \cite{RS} when $n=2m$ for all positive integer $m$ by using different Sobolev norms.

研究の動機と目的

• 非有界領域 $\mathbb{R}^n$ における Sobolev 空間 $W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)$ に対して、任意の整数 $m < n$ における鋭い Adams 型不等式を確立すること。
• 従来の結果（偶数 $m$ または有界領域に限られていた）を拡張し、完全な非有界領域設定における鋭い不等式を証明すること。
• Adams や Ruf-Sani が先行して研究した結果を一般化し、すべての正の整数 $m < n$ に対して鋭い定数 $\beta(n,m)$ を統一的に取り扱うこと。
• テスト関数を用いて、$\beta > \beta(n,m)$ のとき積分が発散することを示し、定数 $\beta(n,m)$ の鋭さを確認すること。

提案手法

• 径数再配分と比較原理を用いて、問題を $B_{R_0}$ 内の径数関数に簡略化し、ノルムと点での有界性の解析を容易にする。
• $|v_l|$ を $\nabla^m v_l$ 及びその低次の導関数の $L^{n/m}$-ノルムで制御する、主要化径数関数 $w_l$ の構成。
• $\|\nabla^m u\|_{L^{n/m}}$ と $\|(-\Delta + I)^k u\|_{L^{n/m}}$ を含む修正されたノルムの使用により、成長を制御し、有界性を保証する。
• 補題 2.3 および径数レムマ (2.4–2.5) を用いて、$\nabla^m z_l$ の $L^{n/m}$-ノルムを全 Sobolev ノルムで有界化する。
• Fatou の補題を用いて極限に移行し、$\mathbb{R}^n$ 上での指数積分の上界の有限性を確立する。
• Kozono, Sato, Wadade が提案したテスト関数の系列を適応し、$\beta > \beta(n,m)$ のとき上界が発散することを示して鋭さを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の正の整数 $m < n$ に対して、$W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)$ における Adams 型不等式の鋭い定数 $\beta(n,m)$ は何か？
• RQ2 非有界領域における鋭い Adams 不等式は、$m$ が偶数である場合に限らず、すべての整数 $m < n$ に対して確立可能か？
• RQ3 特に $\nabla^m u$ と $(-\Delta + I)^k u$ を含む Sobolev ノルムの選択が、指数積分の有界性にどのように影響するか？
• RQ4 定数 $\beta(n,m)$ が、$\beta > \beta(n,m)$ のとき積分が無限大に発散することを示すことで、最適性が保証されるか？
• RQ5 径数主要化とノルム比較の手法は、導関数の $L^{n/m}$-ノルムのみを用いて、非有界領域における一様有界性を示すために拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、任意の $u \in W^{m,\frac{n}{m}}(\mathbb{R}^n)$ で $\|\nabla^m u\|_{L^{n/m}} \leq 1$ を満たすものに対して、$\int_{\mathbb{R}^n} \exp(\beta |u|^{n/(n-m)}) \, dx$ の上界が $\beta \leq \beta(n,m)$ のとき有限であることを証明する。ここで $\beta(n,m)$ は奇数 $m$ および偶数 $m$ の両方に対して明示的に与えられる。
• 鋭い定数 $\beta(n,m)$ は、奇数 $m$ の場合、$\frac{n}{\omega_{n-1}} \left[ \frac{\pi^{n/2} 2^m \Gamma(\frac{m+1}{2})}{\Gamma(\frac{n-m+1}{2})} \right]^{n/(n-m)}$ で与えられ、偶数 $m$ の場合は $\Gamma(\frac{m}{2})$ を用いた類似の式となる。$m=1$ および $n=2m$ の場合の既知の値と一致する。
• $\beta > \beta(n,m)$ のとき、上界が無限大に発散することを、テスト関数の系列を用いて確認し、定数の鋭さを裏付ける。
• 領域を球 $B_{R_0}$ とその補集合に分解し、ノルム推定と Fatou の補題を用いて両方の部分で一様有界性を証明することで、$\mathbb{R}^n$ 上での積分の有界性を確立する。
• 主に、元の関数のノルムで制御される $m$ 階の勾配ノルム $\|\nabla^m w_l\|_{L^{n/m}} \leq 1$ を満たす主要化径数関数 $w_l$ を構成する。これにより、$R_0$ が十分に大きいとき定理 B を適用可能となる。
• Ruf と Sani (2012) が偶数 $m$ の場合にのみ扱った結果、および Adams (1975) が有界領域での研究に限った結果を一般化し、非有界領域およびすべての $m < n$ に対して鋭い不等式を拡張する。