[論文レビュー] Sharp constants in several inequalities on the Heisenberg group

Rupert L. Frank, Élliott H. Lieb|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Heisenberg群 $\mathbb{H}^n$ 上のHardy-Littlewood-Sobolev (HLS) 不等式について、すべての $\lambda \in (0, Q)$ に対して鋭鋭定数を確立する。ここで $Q = 2n+2$ であり、関数 $H(u) = \left((1+|z|^2)^2 + t^2\right)^{-(2Q-\lambda)/4}$ が、平行移動およびスケーリングを除き一意な最適化関数であることを証明する。この手法は、第二変分と対称性削減を用いた独創的な変分的アプローチに依拠し、再配分を用いない証明を提供する。この証明法は、$\mathbb{H}^n$ 上のSobolev、Onofri、およびlog-Sobolev不等式の鋭鋭定数への拡張も可能である。主な貢献は、以前は $\lambda = Q-2$ の特別な場合にのみ知られていた、Heisenberg群上での鋭鋭HLS不等式の完全な解を得たことである。

ABSTRACT

We derive the sharp constants for the inequalities on the Heisenberg group H^n whose analogues on Euclidean space R^n are the well known Hardy-Littlewood-Sobolev inequalities. Only one special case had been known previously, due to Jerison-Lee more than twenty years ago. From these inequalities we obtain the sharp constants for their duals, which are the Sobolev inequalities for the Laplacian and conformally invariant fractional Laplacians. By considering limiting cases of these inequalities sharp constants for the analogues of the Onofri and log-Sobolev inequalities on H^n are obtained. The methodology is completely different from that used to obtain the R^n inequalities and can be (and has been) used to give a new, rearrangement free, proof of the HLS inequalities.

研究の動機と目的

• すべての $\lambda \in (0, Q)$ に対して、Heisenberg群 $\mathbb{H}^n$ 上のHardy-Littlewood-Sobolev不等式の鋭鋭定数を求める長年の未解決問題に取り組む。
• 関数 $H(u) = \left((1+|z|^2)^2 + t^2\right)^{-(2Q-\lambda)/4}$ が、群の平行移動およびスケーリングを除き一意な最適化関数であることを確立する。
• HLS不等式の双対不等式、特にsub-Laplacianおよび共形的不変分数階ラプラシアンを含むSobolev不等式の鋭鋭定数への拡張を行う。
• HLS不等式の極限状態を用いて、$\mathbb{H}^n$ 上のOnofriおよびlog-Sobolev不等式の鋭鋭定数を導出する。
• 同じ手法的枠組みを用いて、$\mathbb{R}^N$ 上の古典的HLS不等式に対しても再配分を用いない新しい証明を構築する。

提案手法

• 第二変分不等式に基づく変分的アプローチを用いて、Heisenberg群HLS不等式の最適化関数を特徴付ける。
• 不等式の双対化と拡張されたFatouの補題の適用により、最適化関数の存在を証明し、対称減少再配分を回避する。
• 球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 上に定義された拡大およびCayley変換を用いた変換群を用いて、変分問題を単純化するための重心条件を導入する。
• 文献[MüRiSt]の乗数定理を用いて、核 $|u^{-1}v|^{-\lambda}$ の真の平方根を推定する。これは、ユークリッド空間とは異なり、$|u^{-1}v|^{-(Q+\lambda)/2}$ に等しくない。
• Heisenberg群の共形不変性およびCayley変換を用いて、問題を $\mathbb{H}^n$ から球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ に写像し、そこでの対称性と正規化条件を適用できるようにする。
• 変換群 $\gamma_{\delta,\xi}$ による不変性を確認することで、候補最適化関数 $H(u)$ が必要なEuler-Lagrange方程式を満たすことを検証する。この変換群は不等式を保ち、正規化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $\lambda \in (0, Q)$ に対して、Heisenberg群 $\mathbb{H}^n$ 上のHardy-Littlewood-Sobolev不等式の鋭鋭定数は何か？
• RQ2 関数 $H(u) = \left((1+|z|^2)^2 + t^2\right)^{-(2Q-\lambda)/4}$ は、Heisenberg群HLS不等式の最適化関数として、平行移動およびスケーリングを除き一意的か？
• RQ3 Sobolev、Onofri、およびlog-Sobolev不等式の$\mathbb{H}^n$ 上の鋭鋭定数は、どのようにしてHLS不等式の鋭鋭定数から導出できるか？
• RQ4 同じ手法を用いて、$\mathbb{R}^N$ 上の古典的HLS不等式に対しても再配分を用いない証明を構築できるか？
• RQ5 重心条件は、球面 $\mathbb{S}^{2n+1}$ 上の変分問題を単純化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• Heisenberg群HLS不等式の鋭鋭定数 $D_{n,\lambda}$ は、すべての $\lambda \in (0, Q)$ に対して明示的に計算され、以前のJerisonとLeeによる $\lambda = Q-2$ の結果を一般化する。
• 関数 $H(u) = \left((1+|z|^2)^2 + t^2\right)^{-(2Q-\lambda)/4}$ は、$\mathbb{H}^n$ 上の不等式に対して、左平行移動およびスケーリングを除き一意な最適化関数である。
• sub-Laplacianおよび共形的不変分数階ラプラシアンを含む双対Sobolev不等式の鋭鋭定数は、HLS不等式の鋭鋭定数から導出される。
• Onofriおよびlog-Sobolev不等式の$\mathbb{H}^n$ 上の鋭鋭定数は、それぞれ $\lambda \to 0$ および $\lambda \to Q$ の極限状態としてHLS不等式から得られる。
• この手法により、$\mathbb{R}^N$ 上の古典的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式に対しても、再配分を用いない新しい証明が得られ、同じ鋭鋭定数が得られる。
• $\mathbb{S}^{2n+1}$ 上の変換 $\gamma_{\delta,\xi}$ を用いることで、重心条件を課すことができ、変分問題を対称的状態に還元でき、最適化関数が定数として特定できる。この定数関数は、$H(u)$ の形に引き戻される。