[論文レビュー] Sharp estimates involving $A_\infty$ and $LlogL$ constants, and their applications to PDE

Alexander Reznikov, Oleksandra Beznosova|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、実直線上の重みについて、$A_∞$ と $RH_1$ 定数の間の鋭い定量的推定を確立し、$p \to 1^+$ のときの逆ホルダー不等式の極限として $RH_1$ を定義する。ベルマン関数技法とモンジュ・アンペール方程式を用いて、$A_∞$ 定数が $RH_1$ 定数を鋭く制御することを証明し、1次元における古典的ゲーリングの定理の鋭い形を完成させ、楕円型偏微分方程式への応用を可能にする。

ABSTRACT

It is a well known fact that the union of the Reverse Hölder classes coincides with the union of the Muckenhoupt classes $A_p$, but the $A_\infty$ constant of the weight $w$, which is a limit of its $A_p$ constants, is not a natural characterization for the weight in Reverse Hölder classes. We introduce the $RH_1$ condition as a limiting case of the $RH_p$ inequalities as $p$ tends to 1. Then we show sharp bound on $RH_1$ constant of the weight $w$ in terms of its $A_\infty$ constant (from above and from below). We also prove the sharp version of the Gehring theorem for the case $p=1$, completing the answer to the famous question of Bojarski in dimension one. We illustrate our results by two straight-forward applications: to the Dirichlet problem for elliptic PDE's.

研究の動機と目的

• $p \to 1^+$ のときの $RH_p$ の極限として自然な極限としての $RH_1$ を定義・特徴づけ、$A_p$ と $RH_q$ 定数の既知の関係性における空白を埋める。
• 重み $w$ の $A_∞$ 定数と $RH_1$ 定数の間の鋭い定量的推定を確立し、極限的挙動を正確に特徴づける。
• $p=1$ の場合における古典的ゲーリングの定理の鋭い形を完成させ、長年の未解決問題を解決する。
• 鋭い推定を楕円型偏微分方程式のディリクレ問題に応用し、解析におけるその有用性を示す。

提案手法

• 極限 $p \to 1^+$ における $RH_p$ の極限として $RH_1$ を定義し、条件 $[w]_{RH_1} := \sup_J m_J\left(\frac{w}{m_J w}\log\frac{w}{m_J w}\right) < \infty$ を用いる。
• ヴァの[Va]で適応されたベルマン関数技法を用い、$m_I w$ と $m_I(w\log w)$ における制約のもとで $m_I(\log w)$ の極値挙動を捉えるベルマン関数 $B(x,y)$ を構成する。
• ヴァの[Va]およびスラヴァの[SlVa]からの幾何的直観を用い、モンジュ・アンペール方程式を用いてベルマン関数の構成と解析を簡略化する。
• 曲線 $\Gamma_Q = \{(x,y) : y = x\log x + Qx\}$ における接線条件により関数 $v(x,y)$ を定義し、ベルマン関数を $B(x,y) = \log v + \frac{x - v}{\gamma_- v}$ と表現する。ここで $\gamma_-$ は $t - \log t = Q + 1$ の小さい方の解である。
• 量 $x \exp(-B(x,y)) = s \exp\left(\frac{1-s}{\gamma_-}\right)$ を分析し、$s = x/v \in [\gamma_-, 1]$ として、その最大値が漸近的に $\gamma_- \exp\left(\frac{1 - \gamma_-}{\gamma_-}\right) \sim \exp(e^{Q+1} - Q - 2)$ であることを示す。
• 極値重み $w(t) = \frac{1}{\gamma_-} t^{(1 - \gamma_-)/\gamma_-}$ を構成し、等号が成立することを示して鋭さを証明する。ここで $[w]_{RH_1} = Q$ かつ $m_I w \exp(-m_I(\log w)) = \gamma_- \exp\left(\frac{1 - \gamma_-}{\gamma_-}\right)$ である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数直線上の重みについて、$A_\infty$ 定数と $RH_1$ 定数の間の鋭い定量的関係は何か？
• RQ2 $RH_1$ のクラスは $p \to 1^+$ のときの $RH_p$ の極限として厳密に定義できるか？ また、$A_\infty$ クラスとはどのような関係にあるか？
• RQ3 古典的ゲーリングの定理は $p=1$ の場合に鋭くできるか？ もしそうならば、$w \in RH_{1+\varepsilon}$ を満たす最良の指数 $\varepsilon$ は何か？
• RQ4 $A_\infty$ と $RH_1$ 定数の間の鋭い評価で等号が成立する極値重みは何か？

主な発見

• $A_\infty$ 定数が $RH_1$ 定数を鋭く制御しており、不等式 $m_I w \exp(-m_I(\log w)) \leq \gamma_- \exp\left(\frac{1 - \gamma_-}{\gamma_-}\right)$ が成り立つ。ここで $\gamma_-$ は $t - \log t = Q + 1$ の小さい方の解であり、$Q = [w]_{RH_1}$ である。
• 鋭い評価の漸近的挙動は $\exp(e^{Q+1} - Q - 2)$ であり、$RH_1$ 定数に指数関数的に依存していることが示される。
• 極値重み $w(t) = \frac{1}{\gamma_-} t^{(1 - \gamma_-)/\gamma_-}$ が評価で等号を達成し、鋭さが確認される。
• 本稿は $p=1$ の場合における鋭いゲーリングの定理を完成させ、$w \in RH_1$ で定数 $Q$ を持つならば、$w \in RH_{1+\varepsilon}$ であり、$\varepsilon = \frac{\log 4}{n\log 2 + 8Q}$ であることを示し、これが最良である。
• $\frac{|E|}{|I|} \leq \frac{1}{e^{8Q} - 1}$ ならば、$\frac{w(E)}{w(I)} \leq \frac{1}{4}$ が成り立つ。これは弱型の逆ホルダー条件を提供する。