[論文レビュー] Sharp Estimates of Logarithmic Coefficients for a Certain Class of Starlike Functions

Molla Basir Ahamed, Sanju Mandal|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2026

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ひとこと要約

この論文は、Ma-Minda 星状クラス S*_{ch} に対する初期・逆対数係数と第二Hankel行列式の鋭い境界を導出し、極値関数を用いて鋭さを確認します。

ABSTRACT

In this article, we investigate the extremal properties of logarithmic coefficients for the class $\mathcal{S}_{ch}^*$ of starlike functions associated with the hyperbolic cosine function. We establish the sharp upper bounds for the initial logarithmic coefficients $γ_n$ for $n=1, 2, 3$, and determine the precise bound for the second Hankel determinant $H_{2,1}(F_f/2)$ within this class. Furthermore, we extend our analysis to the inverse functions, deriving sharp estimates for the logarithmic inverse coefficients and the corresponding second Hankel determinant $|H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)|$. Additionally, we provide sharp bounds for the moduli differences of both logarithmic and inverse logarithmic coefficients. The sharpness of all obtained inequalities is verified through the construction of specific extremal functions.

研究の動機と目的

• f ∈ S*_{ch}（z + cosh z に関連する星形関数）に対する対数係数 γ_n (n = 1,2,3) の鋭い境界を特徴づける。
• S*_{ch} 内の二階 Hankel 行列式 H_{2,1}(F_f/2) の鋭い境界を決定する。
• 逆関数に分析を拡張し、逆対数係数 Γ_n の鋭い境界と対応する H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2) を得る。
• 対数係数と逆対数係数の絶対値差の鋭い境界を提供する。

提案手法

• f ∈ S*_{ch} を φ_0(z)=z+cosh z への従属性と Re p > 0 を満たす Carathéodory 関数 p のクラス P を用いて表現する。
• p の c_n の Libera–Zlotkiewicz パラメータ化を用いて a_n と c_n の明示的関係を導出する。
• a_2, a_3, a_4 から γ_n を計算し、Carathéodory 関数の補題（c_1,c_2,c_3 の境界）および Hankel 行列式の表現から境界を与える。
• 補題 2.1–2.4 の制約の下で c_1,c_2,c_3 に対する最適化を行い、F_f/2 の H_{2,1} を導く。
• 逆関数については Γ_n を a_n に関連づけ、逆関数 F_{f^{-1}}/2 の H_{2,1} を同様に境界づける。
• 鋭さを示す極値関数 f_1, f_2, f_3 を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f ∈ S*_{ch} に対して |γ_n| の鋭い上界は n = 1,2,3 でいくつか。
• RQ2 f ∈ S*_{ch} に対する二階 Hankel 行列式 H_{2,1}(F_f/2) の鋭い境界はいくつか。
• RQ3 f ∈ S*_{ch} に対する逆対数係数 Γ_n の鋭い境界は何か。
• RQ4 逆関数の H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2) の鋭い境界は何か。
• RQ5 |γ_{n+1}|−|γ_n| 及びそれらの逆対応について一様な鋭い境界は存在するか。

主な発見

• f ∈ S*_{ch} に対して鋭い境界は |γ_n| ≤ 1/(2n) (n = 1,2,3)。
• 二階対数-Hankel 行列式は |H_{2,1}(F_f/2)| ≤ 1/16 を満たし、鋭さは f_2 によって示される。
• 逆関数について鋭い境界は |Γ_1| ≤ 1/2 および |Γ_2| ≤ 3/8、鋭さは f_1 により達成。
• 逆対数係数の二階 Hankel 行列式は |H_{2,1}(F_{f^{-1}}/2)| ≤ 3/44、鋭さが確立。
• 極値関数 f_1, f_2, f_3 は上記境界の鋭さを示す。
• 対数係数と逆対数係数の絶対値差の鋭い境界も提供されており（本文に詳細な境界が記載されている）。