[論文レビュー] Sharp interface limit for stochastically perturbed mass conserving Allen-Cahn equation

Tadahisa Funaki, Satoshi Yokoyama|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、質量保存型アレン・コーエン方程式に確率的摂動を加えた場合の鋭い界面極限を確立し、発散するノイズ項を制御する新たな漸近展開法を用いて、非局所的ノイズ駆動の平均曲率流れへの収束を示した。著者らは、発散するノイズ項を扱うために画期的な漸近展開法を開発し、極限の確率的偏微分方程式に対してパスごとの一意性および強解の存在を証明した。

ABSTRACT

This paper studies the sharp interface limit for a mass conserving Allen-Cahn equation added an external noise and derives a stochastically perturbed mass conserving mean curvature flow in the limit. The stochastic term destroys the precise conservation law, instead the total mass changes like a Brownian motion in time. For our equation, the comparison argument does not work, so that to study the limit we adopt the asymptotic expansion method, which extends that for deterministic equations used in Chen et al. [3]. Differently from the deterministic case, each term except the leading term appearing in the expansion of the solution in a small parameter $ε$ diverges as $ε$ tends to $0$, since our equation contains the noise which converges to a white noise and the products or the powers of the white noise diverge. To derive the error estimate for our asymptotic expansion, we need to establish the Schauder estimate for a diffusion operator with coefficients determined from higher order derivatives of the noise and their powers. We show that one can choose the noise sufficiently mild in such a manner that it converges to the white noise and at the same time its diverging speed is slow enough for establishing a necessary error estimate.

研究の動機と目的

• 有界領域における確率的摂動を受ける質量保存型アレン・コーエン方程式の鋭い界面極限を導出すること。
• 質量保存と確率的ノイズの両方が原因で比較原理が破綻する問題を克服すること。
• 発散するノイズ項を伴う漸近展開に対して、厳密な誤差評価を確立すること。
• 極限の確率的平均曲率流れに対して、パスごとの一意性および強解の存在を証明すること。

提案手法

• 小パラメータεにおける漸近展開法を採用し、確定的アプローチを拡張して確率的ノイズを扱う。
• 白色ノイズの積やべき乗から生じる発散項を、ノイズが白色ノイズに十分ゆっくり収束すると仮定することで制御する。
• ノイズの高階微分を係数に含む拡散作用素に対する、新たなシューディンガー型推定式を確立する。
• 伊藤の公式とグロワールの補題を用いて、コンパクトな曲線上での極限SPDEのパスごとの一意性を証明する。
• 確率的発展方程式を、非局所的乗法的ノイズと曲率に依存するドリフト項を持つ伊藤型に変換する。
• 無限次元における山田＝渡辺の定理を適用し、パスごとの一意性と弱解の存在から強解の存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ε → 0 のとき、確率的摂動を受ける質量保存型アレン・コーエン方程式の鋭い界面極限はどのように振る舞うか？
• RQ2 質量保存と乗法的ノイズの両方が存在する場合、標準的な比較論法がなぜ失敗するのか？
• RQ3 白色ノイズおよびその導関数から生じる発散ノイズ項を制御するために、漸近展開法をどのように適合させられるか？
• RQ4 極限の確率的平均曲率流れの構造は何か？ また、一意な強解をもつのか？
• RQ5 ノイズは極限において質量保存則にどのように影響を与えるか？ その確率的性質は何か？

主な発見

• ε → 0 のとき、確率的質量保存型アレン・コーエン方程式の解は、動く超曲面γₜの特性関数に収束する。
• 極限の力学は、非局所的乗法的ノイズ項を有する確率的摂動平均曲率流れによって支配される。
• ノイズ項により総質量がブラウン運動のように変化し、正確な保存則が破られる。
• 2次元領域において、停止時刻σ > 0 に対して、極限SPDEは局所的強解を一意に持つ（ほとんど確実に）。
• 曲率およびその微分の有界性条件下で、伊藤の公式とグロワールの不等式を用いてパスごとの一意性が確立された。
• ノイズの高階微分を係数に含む拡散作用素に対する、新たなシューディンガー推定式が導出され、漸近展開における誤差制御が可能になった。