[論文レビュー] Sharp isoperimetric comparison on non-collapsed spaces with lower Ricci bounds

Gioacchino Antonelli, Enrico Pasqualetto+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、非折りたたみRCD(K,N)空間における下からのリッチ曲率下界をもつ場合に、正則性理論に依存せずに、初めての変分および第二変分の面積推定を用いた、特筆すべき等周的比較定理と次元的に凹型の等周的プロファイルの性質を確立する。さらに、最小境界長の逐次的漸近的質量分解を組み合わせることで、滑らかで非コンパクトな設定ですら、新たな結果を得られる。主な貢献は、等周的集合からの距離関数に対する鋭いラプラシアン比較定理であり、これは低正則性設定における古典的な第一および第二変分の議論に代わる。

ABSTRACT

This paper studies sharp isoperimetric comparison theorems and sharp dimensional concavity properties of the isoperimetric profile for non smooth spaces with lower Ricci curvature bounds, the so-called $N$-dimensional ${ m RCD}(K,N)$ spaces $(X,\mathsf{d},\mathscr{H}^N)$. The absence of most of the classical tools of Geometric Measure Theory and the possible non existence of isoperimetric regions on non compact spaces are handled via an original argument to estimate first and second variation of the area for isoperimetric sets, avoiding any regularity theory, in combination with an asymptotic mass decomposition result of perimeter-minimizing sequences. Most of our statements are new even for smooth, non compact manifolds with lower Ricci curvature bounds and for Alexandrov spaces with lower sectional curvature bounds. They generalize several results known for compact manifolds, non compact manifolds with uniformly bounded geometry at infinity, and Euclidean convex bodies.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体における鋭い等周的比較定理を、下からのリッチ曲率下界をもつ非コンパクトおよび非滑らか空間へと拡張すること。
• 非コンパクト空間における等周的領域の非存在性および正則性の欠如という課題を克服すること。
• 古典的正則性理論に依存しない、面積の第一および第二変分を推定するための新規な手法を開発すること。
• 低正則性設定における等周的集合からの距離関数に対するラプラシアン比較定理を確立すること。
• 単位球の体積に一様な下界が存在する場合の、pmeGH収束における等周的領域のGromov–Hausdorff安定性および収束を証明すること。

提案手法

• RCD(K,N)空間における等周的集合の面積の、新規な第一および第二変分推定を導入し、古典的正則性理論への依存を回避する。
• 境界長最小化逐次列のための漸近的質量分解結果を用いて、無限遠における挙動を制御する。
• 等周的集合の境界からの符号付き距離関数に対する鋭いラプラシアン比較定理を確立する。
• 非コンパクト空間における等周的領域の非存在性に対処するため、集中・コンパクトネスの議論を適用する。
• RCD(K,N)空間における有界境界集合の理論を活用し、境界の縮小境界上で周囲が(N−1)次元ハウスドルフ測度と一致することを用いる。
• 単位球の体積に一様な下界が存在するpmeGH収束において、平均曲率バリアの一様有界性および境界のハウスドルフ収束を用いて、等周的領域の安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 下からのリッチ曲率下界をもつ非コンパクトかつ非滑らかRCD(K,N)空間へ、鋭い等周的比較定理を拡張することは可能か？
• RQ2 このような空間において、正則性理論に依存せずに、面積の第一および第二変分をどのように推定できるか？
• RQ3 漸近的質量分解は、非コンパクト設定における境界長最小化逐次列の解析において、どのような役割を果たすか？
• RQ4 単位球の体積に一様な下界が存在する場合、等周的領域の直径に一様な上限を導くことは可能か？
• RQ5 pmeGH収束する空間において、等周的領域がハウスドルフ距離で収束するための条件は何か？

主な発見

• 等周的集合の境界からの距離関数に対する鋭いラプラシアン比較定理が確立され、低正則性設定における古典的な第一および第二変分の議論に代わる。
• 任意のRCD(KR⁻²,N)空間で、R-球の体積に一様な下界が存在する場合、体積≤ C(K,N,v₀)Rᴺ である等周的領域の直径は、C(K,N,v₀) にその体積のN乗根を乗じたもので有界である。
• K=0 かつAVRがA>0で下から有界である場合、任意の等周的領域Eについて、diam(E) ≤ C(0,N,Aωₙ) ℋᴺ(E)¹ᐟᴺ が成り立つ。
• 単位球の体積に一様な下界が存在するpmeGH収束において、等周的領域の平均曲率バリアは一様に有界である。
• 単位球の体積に一様な下界が存在するpmeGH収束において、等周的領域はL¹で収束し、その境界はハウスドルフ距離で収束する。極限集合は等周的である。
• 滑らかな場合において[83, Lemma 4.9]を鋭くし、仮定(H)を除去するとともに、単位球の体積下界のみを仮定する非滑らかRCD空間へ一般化した。