[論文レビュー] Sharp weighted Sobolev trace inequalities and fractional powers of the Laplacian

Jeffrey S. Case|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、非整数順序 γ ∈ (0, ∞) \ N に対するラプラシアンの分数階数の一般化された Caffarelli-Silvestre の拡張を用いて、ユークリッド上半空間における分数階数の重み付きソボレフ境界不等式を鋭利に確立する。重み付き GJMS 作用素を含む高階の退化楕円型境界値問題を用いて一般化されたディリクレ・トゥ・ノイマン作用素を導入し、∆^{k+1}_m U = 0 (m = 1 − 2[γ]) の解の境界データから分数階ラプラシアン (−∆)^γ が回復されることを証明し、ディリクレの原理と鋭利な分数階ソボレフ不等式を用いて、明示的かつ最適な定数を伴う鋭い不等式を導出する。

ABSTRACT

We establish a family of sharp Sobolev trace inequalities involving the $W^{k,2}(\mathbb{R}_+^{n+1},y^a)$-norm. These inequalities are closely related to the realization of fractional powers of the Laplacian on $\mathbb{R}^n=\partial\mathbb{R}_+^{n+1}$ as generalized Dirichlet-to-Neumann operators associated to powers of the weighted Laplacian in upper half space, generalizing observations of Caffarelli--Silvestre and of Yang.

研究の動機と目的

• ラプラシアンの非整数順序 γ ∈ (0, ∞) \ N に対する分数階数の Caffarelli-Silvestre の拡張をすべての順序に拡張すること。
• 上半空間における重み付き GJMS 作用素に関連する一般化されたディリクレ・トゥ・ノイマン作用素を構成し、高階の退化楕円型方程式の解の境界データから (−∆)^γ を回復すること。
• 重み付きソボレフ空間 W^{⌊γ⌋+1,2}(R^{n+1}_+, y^{1−2[γ]}) から ⊕H^{γ−2j}(R^n) ⊕ H^{⌊γ⌋−[γ]−2j}(R^n) への埋込みに関する鋭い重み付きソボレフ境界不等式を、明示的かつ最適な定数を伴って導出すること。
• 境界作用素と関連エネルギー関数の共形不変性を確立すること。
• 不等式における等号成立が、特定の共形不変型関数をもつ一般化された拡張問題からの解に由来する場合に限り成り立つことを証明すること。

提案手法

• ∆, ∂_y, および R^n 上の ∆ を含む微分作用素を用いて、対称性と共形不変性を保つように、B_{2γ}^{2j} および B_{2γ}^{2[γ]+2j} を再帰的に定義する。
• 重み付き GJMS 作用素 ∆_m^{k+1} (m = 1 − 2[γ]) に対応する双線形形式 Q_{2γ} を用いて、ディリクレエネルギー E_{2γ}(U) := Q_{2γ}(U,U) を定義し、所定の境界データを持つアフィン部分空間上でその強い凸性を証明する。
• 一般化されたディリクレ原理を証明する：境界データ B_{2γ}^{2j}(U) = f^{(2j)} および B_{2γ}^{2[γ]+2j}(U) = φ^{(2j)} を固定する関数の族において、エネルギー E_{2γ}(U) は高階の退化楕円型問題 ∆_m^{k+1}U = 0 の唯一の解 U_D によって最小化される。
• 鋭い分数階ソボレフ不等式 (Lieb, 1983) と鋭い Onofri 不等式を用いて、エネルギーの下界から最適な L^p 境界不等式を導出する。
• 境界作用素とエネルギー形式の共形不変性を、R^n を固定する R^{n+1}_+ の共形群の下で確立する。
• ガンマ関数と組み合わせ係数を用いて、鋭い不等式における定数の明示的公式を導出し、共形不変性と既知の極値関数を用いて等号成立条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非整数順序 γ ∈ (0, ∞) \ N に対する分数階ラプラシアン (−∆)^γ は、上半空間における一般化されたディリクレ・トゥ・ノイマン作用素としてどのように実現可能か？
• RQ2 (−∆)^γ を実現し、余分な境界条件を課さずに鋭いソボレフ境界不等式を導く、適切な高階の退化楕円型境界値問題は何か？
• RQ3 m = 1 − 2[γ] のとき、W^{k,2}(R^{n+1}_+, y^m) における重み付きソボレフ境界不等式の鋭い定数は何か？
• RQ4 境界作用素とエネルギー形式の共形不変性は、分数階ラプラシアンの共形不変性とどのように関係するか？
• RQ5 鋭い境界不等式における等号成立を達成する明示的な極値関数は何か？

主な発見

• 任意の非整数順序 γ ∈ (0, ∞) \ N に対して、分数階ラプラシアン (−∆)^γ は、m = 1 − 2[γ] および k = ⌊γ⌋ + 1 である方程式 ∆_m^{k+1}U = 0 の解 U の境界データ B_{2γ}^{2γ−2j}(U) を用いた一般化されたディリクレ・トゥ・ノイマン作用素として回復可能である。
• 重み付きソボレフ空間 W^{⌊γ⌋+1,2}(R^{n+1}_+, y^{1−2[γ]}) から ⊕_{j=0}^{⌊γ/2⌋} H^{γ−2j}(R^n) ⊕ ⊕_{j=0}^{⌊γ⌋−⌊γ/2⌋−1} H^{⌊γ⌋−[γ]−2j}(R^n) への埋込みに関する鋭い重み付きソボレフ境界不等式が、ガンマ関数と Vol(S^n) を含む最適な定数を伴って確立された。
• 不等式における等号成立は、境界データ f^{(2j)}(x) = a_j (ε_j + |x−ξ_j|^2)^{-(n−2γ+4j)/2} および φ^{(2j)}(x) = b_j (ε'_j + |x−ζ_j|^2)^{-(n−2⌊γ⌋+2[γ]+4j)/2} を持つ一般化された拡張問題の解 U である場合に限り成立する。
• 高階境界データが消える関数に対して、不等式 E_{2γ}(U) ≥ c_γ ∫_{R^n} f(−∆)^γ f dx の鋭い定数は、c_γ = (−1)^{1+⌊γ⌋} 2^{1−2[γ]} ⌊γ⌋! γ Γ(−γ)/Γ([γ]) で与えられ、等号成立は U が一般化された拡張問題 (6.2) の解である場合に限り成立する。
• L^{2n/(n−2γ)} 境界不等式の鋭い定数は、Vol(S^n)^{2γ/n} Γ((n+2γ)/2)/Γ((n−2γ)/2) に組み合わせ係数をかけたものであり、Lieb の鋭い分数階ソボレフ不等式と一致する。
• 一般化された拡張問題 (6.2) は、lim_{y→0} y^{1−2[γ]} ∂_y ∆_m^{⌊γ⌋} U の極限によって (−∆)^γ f を回復し、定数 2^{1−2[γ]} ⌊γ⌋! γ Γ(−γ)/Γ([γ]) が明示的に導出された。