[論文レビュー] Sharpness for $C^1$ linearization of planar hyperbolic diffeomorphisms

Wenmeng Zhang, Weinian Zhang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、平面的双曲的微分同相写像のPoincaréおよびSiegel領域における$C^1$線形化の鋭い Hölder 正則性閾値を確立する。不変多様体と関数方程式を、Whitneyの拡張定理を用いて分析することで、微分同相写像がPoincaré領域で$C^{1,\alpha}$かつ$\alpha = \alpha_0$のとき、従来知られていた$C^{1,\beta}$線形化指数$\beta$が最適であることを証明する。同様に、Siegel領域では$\alpha \in (0,1]$のとき、正則性境界の鋭さが解明される。

ABSTRACT

Planar hyperbolic diffeomorphisms can be referred to two cases: Poincaré domain (both eigenvalues lie inside the unit circle $S^1$) and Siegel domain (one eigenvalue inside $S^1$ but the other outside $S^1$). In Poincaré domain it was proved that $C^{1,α}$ smoothness with $α_0:=1-\log|λ_2|/\log|λ_1|0$ is given, an interesting problem is: Is the exponent $α_0$ also sharp? On the other hand, in Siegel domain we only know that $C^{1,α}$ smoothness with $α\in (0,1]$ admits $C^1$ linearization. In this paper we further study the sharpness for $C^1$ linearization in both cases.

研究の動機と目的

• Poincaré領域における平面的双曲的微分同相写像の$C^1$線形化の鋭いHölder指数$\alpha_0$を特定すること、ここで$0 < |\lambda_1| < |\lambda_2| < 1$である。
• Siegel領域における$C^1$線形化の鋭い正則性境界を確立すること、ここで$0 < |\lambda_1| < 1 < |\lambda_2|$である。
• Poincaré領域における指数$\alpha_0 = 1 - \log|\lambda_2|/\log|\lambda_1|$が$C^1$線形化に対して鋭いかどうかを解明すること。
• 両領域における$\alpha$に関する$\beta$の鋭い推定式を導出すること、ここで$\beta$は線形化共役$\Phi$のHölder指数である。

提案手法

• 強い収縮方向に接する不変多様体に関する精密な推定を用いて、$C^1$ノルムにおける列$\Lambda^{-n}F^n$の収束を分析する。
• 共役$\Phi \circ F = \Lambda \circ \Phi$から導かれる関数方程式を用いて、線形化写像$\Phi$の正則性を研究する。
• Whitneyの拡張定理を適用して、閉集合上の$C^{1,\alpha}$データを全空間における$C^{1,\beta}$微分同相写像に拡張し、共役の滑らかさを保証する。
• 逆写像$G = F^{-1}$を用いた双対性の議論により、Siegel領域における$|\lambda_1\lambda_2| > 1$の場合への結果の拡張を行う。
• 背理法を用いて$\beta$の鋭い境界を導出する。$\beta > -\sigma(1 - \sigma)^{-1}\alpha$を仮定し、反復写像の漸近的挙動と整合しないことを示す。
• 非線形項を制御可能な形にした修正された微分同相写像$F_*$を導入し、共役の正則性を分離して$C^{1,\beta}$挙動を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Poincaré領域において$0 < |\lambda_1| < |\lambda_2| < 1$のとき、指数$\alpha_0 = 1 - \log|\lambda_2|/\log|\lambda_1|$が平面的双曲的微分同相写像の$C^1$線形化に対して鋭いかどうか。
• RQ2 Poincaré領域において$\alpha = \alpha_0$のとき、線形化共役$\Phi$の最適なHölder指数$\beta > 0$は何か。
• RQ3 Siegel領域における$C^{1,\alpha}$微分同相写像の$C^1$線形化が可能か。また、その結果得られる共役$\Phi$は、ある$\beta > 0$に対して必ず$C^{1,\beta}$であるか。
• RQ4 Siegel領域において$|\lambda_1\lambda_2| \leq 1$および$|\lambda_1\lambda_2| > 1$のとき、$\beta$の$\alpha$に関する鋭い境界は何か。
• RQ5 Siegel領域において$|\lambda_1\lambda_2| \leq 1$のとき、$\beta \leq -\sigma(1 - \sigma)^{-1}\alpha$の境界が$C^{1,\beta}$線形化に対して鋭いかどうか。

主な発見

• Poincaré領域における指数$\alpha_0 = 1 - \log|\lambda_2|/\log|\lambda_1|$は鋭く、$\alpha < \alpha_0$のとき$C^1$線形化は失敗する。
• Poincaré領域で$\alpha = \alpha_0$のとき、線形化共役$\Phi$は$\beta > 0$を満たす$C^{1,\beta}$であり、境界$\beta \leq -\sigma(1 - \sigma)^{-1}\alpha$は鋭い。
• Siegel領域で$|\lambda_1\lambda_2| \leq 1$のとき、境界$\beta \leq -\sigma(1 - \sigma)^{-1}\alpha$は鋭く、$\Phi$は$\alpha \in (0,1]$に対して$C^{1,\beta}$である。
• $|\lambda_1\lambda_2| > 1$のとき、Siegel領域における鋭い境界は$\beta \leq (1 - \sigma)^{-1}\alpha$であり、これは最適である。
• 従来知られていた$C^{1,\beta}$線形化（$\beta > 0$）が、Poincaré領域で$\alpha = \alpha_0$、Siegel領域で$\alpha \in (0,1]$のとき、最適であることが確認される。
• 境界の鋭さは、反復写像の漸近的挙動と不変多様体上での共役の正則性を分析することで、背理法により確立される。