[論文レビュー] Shattered Sets and the Hilbert Function

Shay Moran, Cyrus Rashtchian|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

この論文は代数幾何学（ヒルベルト関数）と組合せ論（VC理論）の間の新しい接続を確立し、特定の線形計画法の可解性問題が、低次の多項式による近似ができないことを示すことによって、指数的サイズの定数深さ回路を必要とする、という証明を行う。また、サンドイッチ定理の新しい代数的証明を提供し、所定の交差を持つ下向き閉じた集合に関する構造的結果を多項式法によって得る。

ABSTRACT

We study complexity measures on subsets of the boolean hypercube and exhibit connections between algebra (the Hilbert function) and combinatorics (VC theory). These connections yield results in both directions. Our main complexity-theoretic result proves that most linear program feasibility problems cannot be computed by polynomial-sized constant-depth circuits. Moreover, our result applies to a stronger regime in which the hyperplanes are fixed and only the directions of the inequalities are given as input to the circuit. We derive this result by proving that a rich class of extremal functions in VC theory cannot be approximated by low-degree polynomials. We also present applications of algebra to combinatorics. We provide a new algebraic proof of the Sandwich Theorem, which is a generalization of the well-known Sauer-Perles-Shelah Lemma. Finally, we prove a structural result about downward-closed sets, related to the Chvátal conjecture in extremal combinatorics.

研究の動機と目的

• 代数におけるヒルベルト関数とシャッタリングやダウンシフトといったVC理論的概念との深い接続を確立すること。
• 広範なクラスの線形計画法の可解性問題が、多項式サイズの定数深さ回路では計算できないことを証明すること。
• 一般化されたサウアー＝ペルレス＝シェーラの補題であるサンドイッチ定理の、新しい代数的証明を提供すること。
• 所定の交差を持つ下向き閉じた集合に対する双射の存在を証明することによって、極値組合せ論の構造的問題を解決すること。

提案手法

• 関数 $ f: C \to \bbF $ が次数高々 $ d $ の多項式によって表現可能な関数の空間の次元として、ヒルベルト関数 $ h_d(C, \bbF) $ を定義する。
• シャッタリング、強シャッタリング、ダウンシフトなどのVC理論的パラメータを用いて、$ h_d(C, \bbF) $ の上界と下界を確立する。
• 多項式法を用いて、線形計画法の可解性のための符号ベクトル関数が、任意の体上でも低次の多項式によって近似できないことを示す。
• 特性関数の行列 $ \mathbf{1}_{a \cap b = \phi(a)} $ が $ \bbF_2 $ 上で正則であることを証明し、望ましい双射の存在を示す。
• 集合 $ D $ が下向き閉じているとき、単項式 $ \prod_{i \in a} x_i $ が $ \bbF_2^D $ の基底をなすという事実を活用し、一般に任意の交差写像 $ \phi $ に対してこれを一般化する。
• ラズボロフ＝スマレンスキーの多項式近似技法を適用し、低次の多項式による近似不可能性から回路下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シャッタリングやダウンシフトといったVC理論的概念を用いて、ヒルベルト関数を評価できるか？
• RQ2 任意の体上で低次の多項式による近似に抵抗するVC理論における極値関数は存在するか？
• RQ3 ヒルベルト関数と基底構成を用いた代数的技法によって、サンドイッチ定理を証明できるか？
• RQ4 任意の下向き閉じた族 $ D $ に対して、任意の $ \phi(a) \subseteq a $ に対して $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $ を満たす双射 $ \pi: D \to D $ が存在するか？
• RQ5 特に次数2に関して、補間次数が低い集合の構造的特徴は何か？

主な発見

• 一般位置にある $ m = 2d+1 $ 個の超平面をもつ線形計画法の可解性の符号ベクトル関数は、任意の体上で低次の多項式によって近似できない。
• この近似不可能性は、可解性関数を計算するには指数的サイズの定数深さ回路が必要であることを示唆する。
• $ \bbF_2 $ 上でのヒルベルト関数と基底構成を用いた、サンドイッチ定理の新しい代数的証明が与えられる。
• 任意の下向き閉じた族 $ D $ と写像 $ \phi: D \to D $ に対して $ \phi(a) \subseteq a $ が成り立つとき、すべての $ a \in D $ に対して $ a \cap \pi(a) = \phi(a) $ を満たす双射 $ \pi: D \to D $ が存在する。
• 補間次数 $ \mathsf{intdeg}(C) $ は、$ C $ のVC次元によって上から抑えられ、$ \mathsf{intdeg}(C) = 1 $ である集合は、ちょうどアフィン独立集合である。
• 集合 $ D $ が下向き閉じているとき、単項式 $ \prod_{i \in a} x_i $ は $ \bbF_2^D $ の基底をなす。より一般に、関数 $ \prod_{i \in \phi(a)} x_i \prod_{i \in a \setminus \phi(a)} (1 + x_i) $ は $ \bbF_2^D $ の基底をなす。