[論文レビュー] Sheaf Quantization of Lagrangians and Floer cohomology

Claude Viterbo|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 26被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、$T^*N$ の中にある正確なラグラングIAN部分多様体 $L \subset T^*N$ に関連する、$N \times \mathbb{R}$ 上の層の複体を構成し、その特異的台が $L$ の錐 $\hat{L}$ に一致することを証明する。フロアホモロジーを用いて、$L$ のフィルター付きフロアコホモロジーと、量子化された複体の層コホモロジーの間の擬同値性を確立し、積構造の同型も示している。

ABSTRACT

Given an exact Lagrangian submanifold $L$ in $T^*N$, we want to construct a complex of sheaves in the derived category of sheaves on $N imes {\mathbb R} $, such that its singular support, $SS({\mathcal F}^\bullet_L)$, is equal to $\widehat L$, the cone constructed over $L$. Its existence was stated in \cite{Viterbo-ISTST} in 2011, with a sketch of proof, which however contained a gap (fixed here by the rectification). A complete proof was shortly after provided by Guillermou (\cite{Guillermou}) by a completely different method, in particular Guillermou's method does not use Floer theory. The proof provided here is, as originally planned, based on Floer homology. Besides the construction of the complex of sheaves, we prove that the filtered versions of sheaf cohomology of the quantization and of Floer cohomology coincide, that is $FH^*(N imes ]-\infty, λ[, {\mathcal F}^\bullet_L)\simeq FH^*(L;0_N;λ)$, and so do their product structures.

研究の動機と目的

• $N \times \mathbb{R}$ 上の層の複体 $F_L^\bullet$ を構成し、その特異的台が $T^*N$ 内の正確なラグラングIAN $L \subset T^*N$ の錐 $\hat{L}$ に一致することを示す。
• 2011年のスケッチに起因するギャップを是正する、フロア理論的証明による層量子化の確立。
• フィルター付きフロアコホモロジー $HF^*(L; \lambda)$ と、量子化された複体 $F_L^\bullet$ のフィルター付き層コホモロジーの間の自然な同型を確立する。
• 両側の積構造—フロアカップ積と層のヨネダ積—が一致することを示す。
• 層係数とラグラングIANのコボルディズムを含む枠組みを拡張し、シンプレクティックトポロジーへの応用を提示する。

提案手法

• $L$ に境界を持つ $J$-擬全純曲線のモジュライ空間を用いて、$N \times \mathbb{R}$ 上のフロア擬層を構成する。
• $f$ および $\lambda$ に関して関手的な、真の層複体 $\widehat{FC}_L^\bullet(f,\lambda)$ に擬層を置き換えるための修正技術を適用する。
• 作用フィルトレーション $f_{L_0,L_1}(x) = f_{L_1}(x) - f_{L_0}(x)$ を用いた、フィルター付きフロアコホモロジー $FC^\bullet_J(L_0,L_1;\lambda)$ を使用する。
• 層コホモロジー $H^*(N, F_L^\bullet)$ とフロアコホモロジー $HF^*(L; \lambda)$ の間の自然な同型を、フィルター付き複体の同型として特定する。
• ヨネダ積がフロアカップ積と一致することを示すことにより、両側の積構造の同型を証明する。
• シンプレクティック還元とパンツ積構成を用いて、三重交差と積構造の一貫性を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $N \times \mathbb{R}$ 上の層の複体 $F_L^\bullet$ を構成でき、その特異的台が $T^*N$ 内の正確なラグラングIAN $L \subset T^*N$ の錐 $\hat{L}$ に一致するか？
• RQ2 作用フィルター $\lambda$ を用いた $L$ のフィルター付きフロアコホモロジーが、量子化された複体 $F_L^\bullet$ のフィルター付き層コホモロジーと同型になるか？
• RQ3 この同型の下で、フロアカップ積と層のヨネダ積の両方の積構造が一致するか？
• RQ4 ラグラングIANのコボルディズムの下で、層量子化はどのように振る舞い、どのような不変量が保存されるか？
• RQ5 この枠組みを、層係数のフロアコホモロジーに拡張できるか。また、シンプレクティックトポロジーにどのような意味を持つのか？

主な発見

• $L \subset T^*N$ の錐 $\hat{L}$ を特異的台とする、$N \times \mathbb{R}$ 上の層の複体 $F_L^\bullet$ の存在が、フロア理論的手法により確立され、2011年のスケッチのギャップが解消された。
• フィルター付き複体の同型 $F H^*(N \times ]-\infty, \lambda[, F_L^\bullet) \simeq F H^*(L; 0_N; \lambda)$ が自然に存在し、フィルターと次数を保存する。
• 両側の積構造は同型である：層コホモロジーのヨネダ積は、フロアカップ積と一致する。
• $-L$ の層量子化が構成され、層理論におけるパンツ積は、フロア理論的ペア・オブ・パンツ積に対応する。
• シンプレクティック還元の下でも、フロアコホモロジーと層コホモロジーの同型が保たれ、積構造の一貫性が確認された。
• ラグラングIANのコボルディズムへの応用が可能である：$C$ が $L_0$ から $L_1$ への正確なラグラングIANコボルディズムであるなら、$F H^*(L_0) \simeq F H^*(L_1)$ が成り立ち、$N \times [0,1]$ 上の層によって誘導される。