[論文レビュー] Shearlet frames with short support

Li Song, Yi Shen|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Bスプラインを用いて対称的かつ compact なサポートを持つシェアレットフレームを構築し、コマーシャルのような画像における明示的な解析的表現と最適なスパarsityを達成する。2型の擬似スプラインとBスプライン生成子を活用することで、フレーム境界が保証され、空間局在性が向上したシェアレット系を確立する。

ABSTRACT

Compactly supported shearlets have been studied in both theory and applications. In this paper, we construct symmetric compactly supported shearlet systems based on pseudo splines of type II. Specially, using B-splines, we construct shearlet frame having explicit analytical forms which is important for applications. The shearlet systems based on B-splines also provide optimally sparse approximation within cartoon-liked image.

研究の動機と目的

• 空間ドメインにおける明示的な解析的表現を持つ対称的かつコンパクトにサポートされたシェアレットフレームの欠如に対処すること。
• 従来のコンパクトにサポートされたシェアレットには、対称性も明示的な解析的表現もないという制限を克服すること。
• コマーシャルのような画像に対して最適なスパarsityを達成するBスプラインに基づくシェアレット系を開発すること。
• Bスプライン生成子から導かれるシェアレット系のタイトフレーム境界を確立し、フレーム性質を証明すること。
• 画像処理応用分野での利用を想定し、最小限のサポートと明示的な公式を持つ実用的構成を提供すること。

提案手法

• Bスプライン関数（次数 $ m $）を生成子として用い、空間ドメインにおける明示的な解析的表現を保証するシェアレット系を構築する。
• 行列 $ A_{2^j} $ および $ \tilde{A}_{2^j} $ を用いた放物型スケーリング法と、ずれ行列 $ S_k $ を用いた方向性符号化を採用する。
• 領域 $ \mathcal{C}_1 \cup \mathcal{C}_3 $ および $ \mathcal{C}_2 \cup \mathcal{C}_4 $ の周波数カバレッジを別々に定義する、コーン適応離散シェアレット系 $ SH(\phi, \psi, \tilde{\psi}; c) $ を定義する。
• シェアレットのフーリエ変換 $ \hat{\psi}(\xi) = \hat{b}(\xi_1)\hat{\phi}(\xi_1)\hat{\phi}(\xi_2) $ を導出する。ここで $ \hat{b} $ は擬似スプラインマスクから得られる。
• 2型の擬似スプラインのフーリエ変換に対する下界および上界を確立し、フレーム境界解析に不可欠な条件を導出する。
• 得られたシェアレット系が明示的なフレーム境界を備え、フレーム条件を満たすことを証明し、安定な再構成を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bスプラインを用いて、空間ドメインで明示的な解析的表現を持つ対称的かつコンパクトにサポートされたシェアレットフレームを構築できるか？
• RQ2 Bスプラインに基づくシェアレット系は、コマーシャルのような画像に対してほぼ最適なスパarsityを達成するか？
• RQ3 Bスプライン生成子から導かれるシェアレット系のフレーム境界は何か？また、Bスプラインの次数に依存するか？
• RQ4 Bスプラインに基づくシェアレットのフーリエ変換の減衰特性は、他の構成と比較してどうなるか？
• RQ5 任意の $ 0 < \alpha < \pi/2 $ に対して一般化可能か？これにより、広範なサンプリングパラメータに対してフレーム安定性が保証されるか？

主な発見

• Bスプラインに基づくシェアレット系は、多くのウェーブレットやシェアレット構成とは異なり、空間ドメインで明示的な解析的表現を有する。
• 構築されたシェアレットは対称的または反対称的であり、従来のコンパクトにサポートされたシェアレット系の主要な制限を克服する。
• シェアレット系は、コマーシャルのような画像に対してほぼ最適なスパース近似を提供し、スパarsityの理論的限界に一致する。
• Bスプライン次数3の場合、シェアレット系 $ \Psi(\psi;c) $ は $ \{f \in L_2(\mathbb{R}^2) : \mathrm{supp}\,\hat{f} \in \mathcal{C}_1(\alpha) \cup \mathcal{C}_3(\alpha)\} $ に対してフレームを形成し、$ c_2 \leq c_1 \leq \hat{c} $ を満たす。ここで $ \hat{c} > 0 $ である。
• Bスプライン次数4の場合、系 $ \Psi(\phi, \psi_1, \psi_2; c) $ は $ \mathscr{E}^2(v) $ に属する関数に対してほぼ最適なスパース近似を提供し、正のサンプリング定数 $ c > 0 $ を有する。