[論文レビュー] Sheaves, Cosheaves and Applications

Justin Curry|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2013

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 100被引用数 115

ひとこと要約

本稿では、トポロジカル・データ解析、センサーネットワーク、ネットワークコーディングへの応用を目的として、細胞的シャーフィーおよびコシャーフィー（組み合わせ的・有限次元的なシャーフィー理論のバージョン）を構築する。導来同値性がシャーフィーとコシャーフィーの間で確立され、MacPhersonのエントランスパス圏に対するvan Kampen定理が証明され、コシャーフィー同調の解釈にバーコードが導入され、ネットワークコーディングおよびマルチモーダルセンシングにおける効率的計算と双対定理が可能になる。

ABSTRACT

This thesis develops the theory of sheaves and cosheaves with an eye towards applications in science and engineering. To provide a theory that is computable, we focus on a combinatorial version of sheaves and cosheaves called cellular sheaves and cosheaves, which are finite families of vector spaces and maps parametrized by a cell complex. We develop cellular (co)sheaves as a new tool for topological data analysis, network coding and sensor networks. A foundation for multi-dimensional level-set persistent homology is laid via constructible cosheaves, which are equivalent to representations of MacPherson's entrance path category. By proving a van Kampen theorem, we give a direct proof of this equivalence. A cosheaf version of the i'th derived pushforward of the constant sheaf along a definable map is constructed directly as a representation of this category. We go on to clarify the relationship of cellular sheaves to cosheaves by providing a formula that defines a derived equivalence, which in turn recovers Verdier duality. Compactly-supported sheaf cohomology is expressed as the coend with the image of the constant sheaf through this equivalence. The equivalence is further used to establish relations between sheaf cohomology and a herein newly introduced theory of cellular sheaf homology. Inspired to provide fast algorithms for persistence, we prove that the derived category of cellular sheaves over a 1D cell complex is equivalent to a category of graded sheaves. Finally, we introduce the interleaving distance as an extended pseudo-metric on the category of sheaves. We prove that global sections partition the space of sheaves into connected components. We conclude with an investigation into the geometry of the space of constructible sheaves over the real line, which we relate to the bottleneck distance in persistence.

研究の動機と目的

• 細胞複体を用いた、計算可能で有限次元的なシャーフィー理論のフレームワークを構築すること。
• 特に恒常的ホモロジーと多次元的パーシステンスにおいて、細胞的シャーフィーおよびコシャーフィーをトポロジカル・データ解析に応用すること。
• 解釈可能な不変量を備えたシャーフィー理論的構造を用いて、センサーネットワークとネットワークコーディングをモデル化すること。
• 細胞的シャーフィーとコシャーフィーの間で導来同値性を確立し、Verdier双対性を回復すること。
• 細胞的シャーフィー同調の新理論を定義し、コエンドを介してコンパクト台付きコホモロジーと関連付けること。

提案手法

• 細胞複体からベクトル空間への関手として細胞的シャーフィーおよびコシャーフィーを形式化し、有限計算を可能にする。
• アレクサンドロフ位相を用いて、順序集合関手とシャーフィー・コシャーフィーを関連付ける。
• コシャーフィー同調の記述子としてバーコードを導入し、バーレ・ムーリー同調と結びつける。
• スペクトル系列を用いて、多次元的設定におけるレベル集合と部分レベル集合のパーシステンスを関連付ける。
• シャーフィーからコシャーフィーの複体を構成することで、細胞的シャーフィーとコシャーフィーの間で導来同値性を構成する。
• シャーフィーの圏におけるインターリーブ距離を定義し、その距離的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてシャーフィー理論を、データサイエンスおよび工学分野への応用において計算可能にすることができるか？
• RQ2 多次元的設定において、細胞的シャーフィーコホモロジーと恒常的ホモロジーの関係は何か？
• RQ3 シャーフィー理論的手法を用いて、ネットワークコーディングに双対定理を確立できるか？
• RQ4 構成可能コシャーフィーは、MacPhersonのエントランスパス圏の表現とどのように関係するか？
• RQ5 細胞的シャーフィーとコシャーフィーの導来同値性は、古典的双対定理を回復する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 細胞的シャーフィーとコシャーフィーの間で導来同値性が構成され、これによりVerdier双対性が回復された。
• バーコードを用いた細胞的コシャーフィー同調の解釈がなされ、バーコード空間のバーレ・ムーリー同調と結びつけられた。
• バーコードを用いた2通りの方法により、ネットワークコーディングのシャーフィーに対する双対定理が証明された。
• 1次元の細胞複体上の細胞的シャーフィーの導来圏は、グレーデッドシャーフィーの圏と同値であり、これにより高速なパーシステンスアルゴリズムが可能になった。
• 実直線上の構成可能シャーフィーの空間は、恒常的ホモロジーにおけるボトルネック距離と関連している。
• 分層空間のエントランスパス圏に対するvan Kampen定理が証明され、構成可能コシャーフィーとその表現との同値性が確立された。