[論文レビュー] Sheaves in Quantum Topos Induced by Quantization

Kunji Nakayama|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2011

Quantum Mechanics and Applications被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルト空間上の可換フォンノイマン代数の圏から構成される量子トポスにおいて、量子化が一意的なLawvere-Tierney位相—すなわち量子化位相—を誘導することを示している。古典的プリケーショナライゼーションカテゴリから量子トポスへの幾何的同型写像を用いることで、著者はこの位相を一意に同定し、トポス論的枠組み内で量子化構造を符号化する層の構成を可能にした。

ABSTRACT

This paper shows that quantization induces a Lawvere-Tierney topology on (hence, a sheaf topos in) the quantum topos. We show that a quantization map from classical observables to self-adjoint operators on a Hilbert space naturally induces geometric morphisms from presheaf topoi related to the classical system into a presheaf topos, called the quantum topos, on the context category consisting of commutative von Neumann algebras of bounded operators on the Hilbert space. By means of the geometric morphisms, we define Lawvere-Tierney topologies on the quantum topos (and their equivalent Grothendieck topologies on the context category). We show that, among them, we can uniquely select the most informative one, which we call the quantization topology. We furthermore construct sheaves induced by the quantization topology. This can be done in an elementary and self-contained way, because the quantization topology has a quite simple expression.

研究の動機と目的

• トポス量子論における古典的観測量の量子化が、量子トポスにどのように構造をもたらすかを理解すること。
• ヒルベルト空間に依存しないトポス論的言語に、量子化の概念を一般化すること。
• 量子トポスに量子化写像によって誘導される一意的な位相的構造を同定すること。
• 誘導された位相を用いて量子トポス上に層を構成することで、古典的・量子的対応関係をトポス論理に埋め込むこと。

提案手法

• 古典的観測量とその自己随伴作用素への量子化写像に基づくプリケーショナライゼーションカテゴリの定義。
• 古典的プリケーショナライゼーションカテゴリから、可換フォンノイマン代数の圏V(H)への量子化関手の構成。
• 量子化関手によって誘導される幾何的同型写像を用いて、古典的トポスから量子トポスへの位相の引き戻しを行う。
• プリケーショナライゼーションカテゴリからのGrothendieck位相の引き戻しを用いて、量子トポス上にLawvere-Tierney位相を定義する。
• 適切なプリケーショナライゼーションカテゴリを含む任意のプリケーショナライゼーションカテゴリから誘導される位相の中で、量子化位相が一意に選ばれ、最も情報量が多いものであることを同定する。
• 関連する層関手を構成し、量子化位相に関する層の圏がトポスをなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的観測量から自己随伴作用素への量子化写像が、量子トポスにどのように構造をもたらすか。
• RQ2 ヒルベルト空間形式に依存しないトポス論的言語における、量子化の概念の一般化とは何か。
• RQ3 量子トポス上で、量子化による古典的・量子的対応関係を最もよく反映する位相は何か。
• RQ4 量子化写像の情報を符号化する層を、量子トポス上に構成できるか。
• RQ5 プリケーショナライゼーショントポスとそれによって得られる量子化層トポスの間には、どのように圏論的関係があるか。

主な発見

• 量子化写像は、古典的プリケーショナライゼーションカテゴリのプレシャーフィー・トポスから、量子トポスSet^{V(H)^op}への幾何的同型写像を誘導する。
• この幾何的同型写像は、量子トポスにLawvere-Tierney位相を誘導し、これは圏V(H)におけるGrothendieck位相に対応する。
• すべての誘導された位相の中で、量子化位相は、適切なプリケーショナライゼーションカテゴリを含む任意のプリケーショナライゼーションカテゴリから生じる中で、一意に選ばれ、最も情報量が多いものである。
• 量子化位相は単純かつ初等的な表現を持つため、量子トポス上での層の明示的構成が可能となる。
• 量子化位相に関する層の圏は、完全なトポスをなす。これを量子化トポスと呼ぶ。このトポスは、量子化の論理的構造を捉えている。
• 関連する層関手は、量子化写像と整合する層を体系的に回復する方法を提供し、それによって古典的観測量が層論的閉包を介して量子トポスに埋め込まれる。