[論文レビュー] Sheaves of ordered spaces and interval theories

Krzysztof Worytkiewicz|ArXiv.org|Aug 13, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所順序付き空間（local epo-spaces）の圏を、基本的部分順序空間のサイト上の層のトポスに埋め込むことで、方向付きホモトピー理論のトポス的枠組みを確立する。D-ホモトピー（標準的区間を自然順序で装備）はDi-ホモトピー（離散順序で装備）より弱いことを示し、D-ホモトピーのモデルからDi-ホモトピーのモデルへの恒等関手が左クィルレン関手であることを証明することで、層論的道具を用いて2つの主要な方向付きホモトピーの概念を関連付ける。

ABSTRACT

We study the homotopy theory of locally ordered spaces, that is manifolds with boundary whose charts are partially ordered in a compatible way. Their category is not particularly well-behaved with respect to colimits. However, this category turns out to be a certain full subcategory of a topos of sheaves over a simpler site. A precise characterisation of this subcategory is provided. The ambient topos makes available some general homotopical machinery.

研究の動機と目的

• 局所順序付き空間の圏における余極限における悪性な振る舞いを補うホモトピー的枠組みを提供すること。
• 区間上の離散順序を用いるDi-ホモトピーと自然順序を用いるD-ホモトピーという2つの方向付きホモトピーの概念を統一的な設定で比較すること。
• 両者を共通の層のトポスに埋め込むことで、D-ホモトピーのモデルがDi-ホモトピーのモデルより弱いかつを示すこと。
• グロテンディークトポスにおける区間ベースのモデル構造を用いて、異なる順序付き区間によって誘導される弱同値を比較すること。
• D-ホモトピーのモデルからDi-ホモトピーのモデルへの恒等関手が左クィルレン関手であることを確立し、ホモトピー的情報の階層を示すこと。

提案手法

• Yoneda埋め込みの制限を用いて、local epo-spacesの圏をepo空間のサイト上の層トポスに埋め込む。
• エタール射影に関する$π$-局所的性質を持つ層として、local epo-spacesを特徴づける。これには、層のフル部分圏を用いる。
• 層トポス内に2つの区間対象を構成する：離散順序を持つもの（$\mathcal{I}_d$）と自然順序を持つもの（$\mathcal{I}_D$）、それぞれDi-ホモトピーとD-ホモトピーを表す。
• 区間の間の準同型を定義し、成分ごとの弱同値を介して、一方のモデル構造における弱同値が他方のものとどのように関係するかを分析する。
• $h(f,g) = f \cdot g$ という収縮ホモトピーを用い、$h_{\mathbb{P}}(\Delta_d) \times h_{\mathbb{P}}(\Delta_d) \to h_{\mathbb{P}}(\Delta_D)$ により、$!_D$ が $\mathcal{I}_d$-弱同値であることを示す。
• シシンスキーの区間ベースのモデル構造の結果を応用し、$\mathcal{I}_d$ と $\mathcal{I}_D$ によって誘導される2つのモデル構造の弱同値を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所順序付き空間の圏は、より良好なホモトピー的設定にどのように埋め込むことができるか？
• RQ2 局所順序付き空間の文脈において、Di-ホモトピーとD-ホモトピーの関係は何か？
• RQ3 D-ホモトピーのモデルにおける弱同値は、Di-ホモトピーのモデルにおける弱同値に含まれるか？
• RQ4 層論的枠組みは、異なる方向付きホモトピーの概念を統一的かつ比較可能にするか？
• RQ5 離散順序区間と自然順序区間によって誘導されるモデル構造の間には、クィルレン関手の関係があるか？

主な発見

• local epo-spacesの圏は、制限されたYoneda埋め込みを介して、epo空間のサイト上の層のトポスに完全に埋め込まれる。
• 層がlocal epo-spaceであるための必要十分条件は、表現可能層からの$\mathbb{P}$-局所的単射の族が存在し、その余直積写像が全射となることである。
• 区間の準同型 $\iota: \mathcal{I}_d \to \mathcal{I}_D$ は、成分ごとの $\mathcal{I}_d$-弱同値である。
• D-ホモトピーのモデルにおける弱同値（$\mathcal{W}_{\mathcal{I}_D}$）は、Di-ホモトピーのモデルにおける弱同値（$\mathcal{W}_{\mathcal{I}_d}$）に含まれる。
• D-ホモトピーのモデルからDi-ホモトピーのモデルへの恒等関手は左クィルレン関手であり、ホモトピー的情報の階層を示している。
• 収縮ホモトピー $h(f,g) = f \cdot g$ は、$!_D$ が $\mathcal{I}_d$-弱同値であることを示すために不可欠であるが、順序連結性の制約のため、逆方向には同様のホモトピーは存在しない。