[論文レビュー] Sheet diagrams for bimonoidal categories

Cole Comfort, Antonin Delpeuch+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2020

Logic, programming, and type systems参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、二重に結合可能なモノイド構造（分配的）を持つbimonoidalカテゴリ（rigカテゴリとも呼ばれる）の形式的図式的記法として、シート図（sheet diagrams）を導入し、そのカテゴリ内の射の健全かつ完全な表現を提供する。主な貢献は、与えられたシグネチャ上でシート図が自由bimonoidalカテゴリを形成することを示す健全性および完全性の定理であり、二重の分配的モノイド構造を持つ体系における厳密な図式的推論を可能にする。

ABSTRACT

Bimonoidal categories (also known as rig categories) are categories with two monoidal structures, one of which distributes over the other. We formally define sheet diagrams, a graphical calculus for bimonoidal categories that was informally introduced by Staton. Sheet diagrams are string diagrams drawn on a branching surface, which is itself an extruded string diagram. Our main result is a soundness and completeness theorem of the usual form for graphical calculi: we show that sheet diagrams form the free bimonoidal category on a signature.

研究の動機と目的

• モノイドカテゴリを一般化する二重の整合性を持つモノイド構造と分配法則を備えたbimonoidalカテゴリのための図式的記法を形式化すること。
• 二つのモノイド演算を含む文脈で用いられる非形式的ストリング図の慣習に対して、健全性および完全性の形式的結果が不足している問題を解決すること。
• シート図（分岐する表面に描かれた3次元ストリング図）を、bimonoidalカテゴリ内の射の正規形として定義すること。ここで、⊗は内側に、⊕は外側に配置される。
• シート図が与えられたシグネチャ上で自由bimonoidalカテゴリを形成することを確立し、したがって位相的変形による等式的推論を可能にすること。
• 実用的利用を支援するため、Webベースのツール「SheetShow」を提供し、シート図のレンダリングと操作を可能にする。

提案手法

• シート図を、分岐する表面（ストリング図の押し出し）上に描かれた位相的図式として定義し、⊗を内側、⊕を外側に配置した正規形の射を表現する。
• bimonoidalカテゴリの公理（分配子、消去子を含む）に対応する、シート図の変形を同値関係として形式化する。
• すべての図式的変形が、対応するbimonoidalカテゴリ内での等価性を保つことにより、健全性を証明する。
• 与えられたシグネチャ上で自由bimonoidalカテゴリからシート図のカテゴリへのbimonoidal関手を構成し、それが同値関手であることを示すことにより、完全性を証明する。
• 対称モノイドカテゴリおよび正規bimonoidal対象の整合性定理を用い、複雑な図式的同値関係をより単純な組合せ的チェックに還元する。
• ストリング図のデータ構造に関する先行研究を基に、組合せ的データ構造を用いて、シート図をベクトルグラフィックスとしてレンダリングするWebツール「SheetShow」を実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 bimonoidalカテゴリに対して、健全かつ完全な推論を可能にする形式的図式的記法を開発できるか？
• RQ2 どのようにしてシート図を位相的に定義することで、分配的モノイド構造を持つ正規形の射を表現できるか？
• RQ3 シート図のどのような位相的変形が、bimonoidalカテゴリの等式的公理に対応するか？
• RQ4 シート図のカテゴリは、与えられたシグネチャ上で自由bimonoidalカテゴリと同値か？
• RQ5 実際の応用において、シート図は効果的にタイプセットおよび操作可能か？また、量子情報やデータフロー計算などの分野への応用を支援できるか？

主な発見

• シート図はbimonoidalカテゴリの健全かつ完全な図式的記法を形成しており、二つの図が等しい射を表すための必要十分条件は、一方の図が許可された位相的移動によって他方へ変形可能であることである。
• シート図のカテゴリ D(Σ) は、シグネチャ Σ 上の自由bimonoidalカテゴリとbimonoidal同値である。これは、シート図が自由構成であることを確立する。
• 空のシグネチャ上での自由bimonoidalカテゴリ D(∅) は、有限集合とその双対写像からなる群小（groupoid）と同値であり、Baezの予想に対する圏論的根拠を提供する。
• D(∅) と有限集合の群小の同値性は、D(∅) の射が加法的対称性と恒等的シートによって有限集合の置換を誘導するため生じる。
• Webツール「SheetShow」は、その位相的構造を組合せ的記述に基づいて実装し、先行研究のストリング図データ構造を応用することで、シート図の実用的レンダリングと操作を可能にする。
• 完全性の証明は、正規化とインスタンス化を経て、対称モノイドカテゴリおよび正規bimonoidal対象の整合性結果に一般図式的同値関係を還元することに依存する。