[論文レビュー] Shellability of 3-cut complexes of powers of cycle graphs

Pratiksha Chauhan, Samir Shukla|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2026

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ひとこと要約

この論文は、3-cut複雑 Delta_3(C_n^p) が n ≥ 6p−3 のときシェラブルであることを証明し、そのホモトピー型とシェリング構造を決定する。

ABSTRACT

In connection with commutative algebra, Bayer et al. introduced cut complexes in [Topology of cut complexes of graphs, SIAM J.\ Discrete Math., 38(2):1630-1675, 2024]. For a positive integer $k$, the $k$-cut complex of a graph $G$, denoted as $Δ_k(G)$, is the simplicial complex whose facets are the $(|V(G)|-k)$-subsets $σ$ of the vertex set $V(G)$ of $G$ such that the induced subgraph $G[V(G) \setminus σ]$ is disconnected. Let $C_n^p$ denote the $p$-th power graph of the cycle graph $C_n$ on $n$ vertices. In this article, we show that $Δ_3(C_n^p)$ is shellable for $n \geq 6p-3$, and therefore these complexes are homotopy equivalent to a wedge of spheres of dimension $n-4$. We provide an explicit shelling order on the facets of $Δ_3(C_n^p)$. We also characterize and count the number of spanning facets in this shelling order, and determine the number of spheres appearing in the wedge in the homotopy type of $Δ_3(C_n^p)$.

研究の動機と目的

• 可換代数と位相幾何との関係における切断複合の研究動機づけ。
• サイクルグラフの冪の3-cut複合の組合せ的・位相的構造の調査。
• n に線形の境界を課したときの Delta_3(C_n^p) のシェラビリティを確立し、ホモトピー型を推定。
• Explicit なシェリング順序を提供し、ホモトピー型の spanningfacets と球の個数を計測。

提案手法

• FACET は (|V(G)|−k)−subset であり、G を削除すると連結を崩す.k-cut 複合 Delta_k(G) の枠組みを利用。
• G = C_n^p、すなわち cycle graph の p-th-power に特化。
• Delta_3(C_n^p) の FACET に対して explicit なシェリング順序を構築。
• シェリングの組合せ論を分析して spanning facets をカウントし、ワ wedge に現れる球の数を決定。
• 同定したホモトピー型を n−4 次元の球のワedge として導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Delta_3(C_n^p) がシェラブルになるのはどの n と p の組み合わせか？
• RQ2 Delta_3(C_n^p) の explicit なシェリング順序は何か、そしてそれはホモトピー型をどのように決定するか？
• RQ3 Delta_3(C_n^p) のホモトピー型を記述する球のワedge にはいくつ現れるか？
• RQ4 構成したシェリング順序に現れる spanning facets はいくつか？

主な発見

• Delta_3(C_n^p) は n ≥ 6p−3 のときシェラブルである。
• Delta_3(C_n^p) は次元 n−4 の球のワedge へのホモトピー同値である。
• FACET 上の explicit なシェリング順序が提供されている。
• 著者はシェリング順序に現れる spanning facets の個数を特徴づけ、カウントしている。
• ワedge（ホモトピー型）内の球の数が定まる。