[論文レビュー] Shelling totally nonnegative flag varieties

Lauren Williams|ArXiv.org|Sep 6, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、完全非負フラッグ多様体のリエッチュの細分における細胞の包合順序集合がEL-シェーリング可能かつスリムであることを確立し、その順序複体が球面にホメオモーティックであることを示している。これらの結果は、各細胞の閉包のオイラー特徴標数が1であることを裏付け、完全非負フラッグ多様体が球面にホメオモーティックな正則CW複体であるという予想を支持する。

ABSTRACT

In this paper we study the partially ordered set Q^J of cells in Rietsch's cell decomposition of the totally nonnegative part of an arbitrary flag variety P^J_{\geq 0}. Our goal is to understand the geometry of P^J_{\geq 0}: Lusztig has proved that this space is contractible, but it is unknown whether the closure of each cell is contractible, and whether P^J_{\geq 0} is homeomorphic to a ball. The order complex |Q^J| is a simplicial complex which can be thought of as a combinatorial approximation of P^J_{\geq 0}. Using combinatorial tools such as Bjorner's EL-labellings and Dyer's reflection orders, we prove that Q^J is graded, thin and EL-shellable. As a corollary, we deduce that Q^J is Eulerian and that the Euler characteristic of the closure of each cell is 1. Additionally, our results imply that |Q^J| is homeomorphic to a ball, and moreover, that Q^J is the face poset of some regular CW complex homeomorphic to a ball.

研究の動機と目的

• 完全非負フラッグ多様体 𝒫^J_≥0 の位相を理解すること。これはコンtraction可能であることが知られているが、その細胞の閉包や全体の位相的性質はまだ十分に理解されていない。
• リエッチの細分における各細胞の閉包がコンtraction可能であるか、および 𝒫^J_≥0 が球面にホメオモーティックであるかを特定すること。
• 幾何学的構造 𝒫^J_≥0 の組合せ的モデルをなす細胞の順序集合 ℚ^J を分析するための組合せ的ツールを用いること。
• ℚ^J がEL-シェーリング可能かつスリムであることを証明し、これによりその順序複体および元の空間に強い位相的性質が導かれるようにすること。

提案手法

• 組合せ的順序集合におけるシェーリング可能性の基準を用いて、ボルナーのELラベリング技法を用いて順序集合 ℚ^J のEL-シェーリング可能性を確立した。
• ディヤーの反射順序理論を用いて、ワイル群 W 上に反射順序を構成し、ELラベリングの構成を容易にした。
• ℚ^J がスリムかつEL-シェーリング可能であることから、その順序複体 ||ℚ^J|| が球面にホメオモーティックであることを示した。
• 特にワイル群とパラボリック部分群の文脈において、順序集合 ℚ^J とブリュア順序との関係を活用した。
• グラスマンニアンの場合における装飾付き置換の順序集合とΓ-図を用いて、タイプAにおける結果の検証を行い、ポストニコフの研究と結びつけた。
• ボルナーの定理（スリムかつEL-シェーリング可能な順序集合は、球面にホメオモーティックな正則CW複体の面順序集合である）を応用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リエッチの完全非負フラッグ多様体の細分における各細胞の閉包はコンtraction可能か？
• RQ2 完全非負フラッグ多様体 𝒫^J_≥0 は球面にホメオモーティックか？
• RQ3 細胞の順序集合 ℚ^J は、𝒫^J_≥0 の位相を反映する組合せ的構造を有するか？
• RQ4 反射順序とELラベリングを用いて、ℚ^J のEL-シェーリング可能性とスリム性を確立できるか？
• RQ5 細胞順序集合 ℚ^J の順序複体 ||ℚ^J|| は球面の位相を持つか？

主な発見

• 順序集合 ℚ^J はスリムである。つまり、任意のランク2の区間には正確に4つの要素が含まれる。
• 順序集合 ℚ^J はEL-シェーリング可能である。つまり、その辺にEL-シェーリング条件を満たすラベル付けが可能である。
• EL-シェーリング可能性とスリム性の結果として、ℚ^J はオイラー的である。すなわち、任意の開区間において偶数ランクの要素数と奇数ランクの要素数が等しい。
• 細分における各細胞の閉包のオイラー特徴標数は1である。これは重要な位相的不変量である。
• 順序複体 ||ℚ^J|| は球面にホメオモーティックである。これは 𝒫^J_≥0 の幾何学的性質が球面に類似しているという強い証拠を示している。
• ℚ^J は球面にホメオモーティックな正則CW複体の面順序集合である。これは 𝒫^J_≥0 自身が球面にホメオモーティックな正則CW複体であるという予想を支持する。